rise-11278-gvvnor: Arithmetic dynamics, James H. Wilkinson, Algebraic element

Monday, April 5, 2021

Arithmetic dynamics, James H. Wilkinson, Algebraic element

ଗାଣିତିକ ଗତିଶୀଳତା: ଗାଣିତିକ ଗତିଶୀଳତା ହେଉଛି ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ଯାହା ଗଣିତର ଦୁଇଟି କ୍ଷେତ୍ର, ଗତିଶୀଳ ପ୍ରଣାଳୀ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତକୁ ଏକତ୍ର କରିଥାଏ \| ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ଭାବରେ, ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଗତିଶୀଳତା ଜଟିଳ ବିମାନ କିମ୍ବା ପ୍ରକୃତ ଲାଇନର ସ୍ୱ-ମାନଚିତ୍ରର ପୁନରାବୃତ୍ତି ଅଧ୍ୟୟନକୁ ବୁ .ାଏ \| ଆରିଥମେଟିକ୍ ଗତିଶୀଳତା ହେଉଛି ବହୁସଂଖ୍ୟକ କିମ୍ବା ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ କାର୍ଯ୍ୟର ବାରମ୍ବାର ପ୍ରୟୋଗରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ, ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ, $p-$ ପ୍ୟାଡିକ୍, ଏବଂ / କିମ୍ବା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପଏଣ୍ଟଗୁଡିକର ସଂଖ୍ୟା-ତତ୍ତ୍ୱିକ ଗୁଣଗୁଡିକର ଅଧ୍ୟୟନ \| ଏକ ମ fundamental ଳିକ ଲକ୍ଷ୍ୟ ହେଉଛି ଅନ୍ତର୍ନିହିତ ଜ୍ୟାମିତିକ ସଂରଚନା ଦୃଷ୍ଟିରୁ ଗାଣିତିକ ଗୁଣ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା \|
ଜେମ୍ସ ଏଚ୍ ୱିଲକିନ୍ସନ୍: ଯାକୁବ Hardy Wilkinson FRS ପଦାର୍ଥ ଏବଂ ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂ କୁ ଉପଯୋଗୀ ଗାଣିତିକ ଏବଂ କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନ ର ସୀମା ରେ ସଂଖ୍ୟା ବିଶ୍ଳେଷଣ, ଏକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରରେ ଏକ ପ୍ରମୁଖ ଆକୃତି ଥିଲା।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଉପାଦାନ: ରେ ଗଣିତ, $L$ ର $K$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ଅନୁଲଗ୍ନ ଅଟେ, ତବେେ $L$ ଏକ ଉପାଦାନ $ଏକ$ ହୋଇଥାଏ $କେ$ ଉପେର ଏକ algebraic ଉପାଦାନ, କିମ୍ବା $କେ$ ଉପରେ କେବଳ algebraic, $କେ$ ଯେ ଏପରି କିଛି ଅଣ-ଶୂନ polynomial coefficients ସହିତ $g (x)$ ସେଠାରେ ରହିଛନ୍ତି ଯଦି ନାମକ $g (a) = 0$ ଉପାଦାନ $L$ ର ଅଛି ଯାହା ନାହିଁ $K$ ଉପରେ algebraic $K$ ଉପରେ transcendental କୁହାଯାଏ।
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଣନା ହେଉଛି ଏକ ଗଣନା କ୍ଷେତ୍ର ଯାହାକି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକାରର ଆକଳନ କରିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକାରର ମିଳିତ ବସ୍ତୁର ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ସଠିକ୍ ସୂତ୍ର ଖୋଜିବା ସହିତ କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥାଏ \| ଏହି ସୂତ୍ରଗୁଡିକ ଖୋଜିବାର ପଦ୍ଧତିଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଫଙ୍କସନ୍ ଉତ୍ପାଦନ ଏବଂ ପୁନରାବୃତ୍ତି ସମ୍ପର୍କର ସମାଧାନ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ ବା ବହୁଜନିକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଫର୍ମର ଏକ ସମୀକରଣ \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ ବା ବହୁଜନିକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଫର୍ମର ଏକ ସମୀକରଣ \| $\text{[math]}$
ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ, ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା, ଏକ ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି ଏହି ଚକ୍ରଗୁଡିକର ଏକ ଉତ୍ତମ କାର୍ଯ୍ୟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ପାଇବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ସୁଗମ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ କିସମର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଚକ୍ର ଉପରେ ଏକ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ, ଏବଂ ବିଶେଷ ଭାବରେ, ସୁ-ପରିଭାଷିତ ଛକ ଉତ୍ପାଦ \| ପିଆର ସାମୁଏଲ୍ 1958 ରେ ଏକ ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କର ଧାରଣାକୁ ଆନୁଷ୍ଠାନିକ କରିଥିଲେ \| ସେହି ଦିନଠାରୁ ଏହା ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ତତ୍ତ୍ central ର କେନ୍ଦ୍ର ପାଲଟିଛି \| ପ୍ରତ୍ୟେକ ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ ପାଇଁ, ସେହି ସମ୍ପର୍କକୁ ନେଇ ଶୁଦ୍ଧ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟର ବର୍ଗକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନାକାରୀ: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଇରେଜର ( AE ) ହେଉଛି ଏକ ଅଜ୍ଞାତ କି ଚୁକ୍ତିନାମା ପ୍ରୋଟୋକଲ୍ ଯାହା ଦୁଇ ପକ୍ଷଙ୍କୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କର AE ସାର୍ବଜନୀନ - ବ୍ୟକ୍ତିଗତ ଚାବି ଯୋଡି, ଏକ ଅସୁରକ୍ଷିତ ଚ୍ୟାନେଲ ଉପରେ ଏକ ଅଂଶୀଦାର ରହସ୍ୟ ପ୍ରତିଷ୍ଠା କରିବାକୁ ଅନୁମତି ଦେଇଥାଏ \| ଏହି ଅଂଶୀଦାରୀ ରହସ୍ୟ ସିଧାସଳଖ ଏକ ଚାବି ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରେ, କିମ୍ବା ଅନ୍ୟ ଏକ ଚାବି ପାଇବା ପାଇଁ ଯାହା ପରେ ଏକ ସମୃଦ୍ଧ କି ସାଇଫର୍ ବ୍ୟବହାର କରି ପରବର୍ତ୍ତୀ ଯୋଗାଯୋଗକୁ ଏନକ୍ରିପ୍ଟ କରିବାରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରେ \| ଆଇରିସ୍ ଆନ୍ସେଲ୍, ମାଇକେଲ୍ ଆନ୍ସେଲ୍, ଡୋରିଆନ୍ ଗୋଲ୍ଡଫେଲ୍ଡ ଏବଂ ଷ୍ଟିଫେନ୍ ଲେମିଅକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଇରେଜର ବିକଶିତ ହୋଇଥିଲା \| SecureRF ପ୍ରୋଟୋକଲକୁ ଆଚ୍ଛାଦନ କରୁଥିବା ପେଟେଣ୍ଟଗୁଡିକର ମାଲିକ ଏବଂ ISO / IEC 29167-20 ର ଅଂଶ ଭାବରେ ପ୍ରୋଟୋକଲକୁ ମାନକ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କଲା, ରେଡିଓ-ଫ୍ରିକ୍ୱେନ୍ସି ଚିହ୍ନଟ ଉପକରଣ ଏବଂ ବେତାର ସେନସର ନେଟୱାର୍କକୁ ସୁରକ୍ଷିତ କରିବା ପାଇଁ ଏକ ମାନକ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ହେଉଛି ଇଣ୍ଟିଜର୍ କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ, ଭେରିଏବଲ୍ ଏବଂ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଅପରେସନ୍ସରୁ ନିର୍ମିତ ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $3 x 2 - 2 xy + c$ ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ଯେହେତୁ ବର୍ଗାକାର ମୂଳ ନେଉଛି ସମାନ ଶକ୍ତି 1/2 କୁ ମନୋନୟନ, ପ୍ରତିଭାର ସ୍ୱୀକୃତି ପରି ଅଟେ, $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିସ୍ତାର: ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାରେ, ଏକ ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ L / K କୁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କୁହାଯାଏ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ , ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ରେ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କିଛି ଶୂନ୍ୟ ନଥିବା ବହୁଭୂତିର ମୂଳ ଅଟେ \| ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ଯାହା ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ ଉପାଦାନ ଧାରଣ କରେ, ଏହାକୁ ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ କୁହାଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିସ୍ତାର: ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାରେ, ଏକ ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ L / K କୁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କୁହାଯାଏ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ , ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ରେ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କିଛି ଶୂନ୍ୟ ନଥିବା ବହୁଭୂତିର ମୂଳ ଅଟେ \| ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ଯାହା ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ ଉପାଦାନ ଧାରଣ କରେ, ଏହାକୁ ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ କୁହାଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିସ୍ତାର: ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାରେ, ଏକ ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ L / K କୁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କୁହାଯାଏ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ , ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ରେ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କିଛି ଶୂନ୍ୟ ନଥିବା ବହୁଭୂତିର ମୂଳ ଅଟେ \| ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ଯାହା ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ ଉପାଦାନ ଧାରଣ କରେ, ଏହାକୁ ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ କୁହାଯାଏ \|
ଚୁକ୍ତିନାମା ମୋର୍ଫିଜିମ୍: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ , ଏକ ସଂକୋଚନ ମର୍ଫିଜିମ୍ ହେଉଛି ଏକ ସର୍ଜେକ୍ଟିଭ୍ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ମର୍ଫିଜିମ୍ \| $\text{[math]}$ ସାଧାରଣ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ କିସମଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରେ ଯେପରି \| $\text{[math]}$ କିମ୍ବା, ସମାନ ଭାବରେ, ଜ୍ୟାମିତିକ ତନ୍ତୁ ସବୁ ସଂଯୁକ୍ତ \| ଏହାକୁ ସାଧାରଣତ a ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଫାଇବର ସ୍ପେସ୍ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ, ଯେହେତୁ ଏହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଟପୋଲୋଜିରେ ଏକ ଫାଇବର ସ୍ପେସ୍ ର ଏକ ଆନାଗଲ୍ \|
କ୍ଷେତ୍ର (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ହେଉଛି ଏକ ସେଟ୍ ଯେଉଁଥିରେ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ଏବଂ ବିଭାଜନକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥାଏ ଏବଂ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ଏବଂ ପ୍ରକୃତ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ଅନୁରୂପ କାର୍ଯ୍ୟ ପରି ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ \| ଏହିପରି ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ହେଉଛି ଏକ ମ fundamental ଳିକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ structure ାଞ୍ଚା ଯାହା ବୀଜ ବିବେଚନା, ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଏବଂ ଗଣିତର ଅନ୍ୟାନ୍ୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବହୁଳ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିସ୍ତାର: ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାରେ, ଏକ ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ L / K କୁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କୁହାଯାଏ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ , ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ରେ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କିଛି ଶୂନ୍ୟ ନଥିବା ବହୁଭୂତିର ମୂଳ ଅଟେ \| ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ଯାହା ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ ଉପାଦାନ ଧାରଣ କରେ, ଏହାକୁ ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ କୁହାଯାଏ \|
ସମଲିଙ୍ଗୀ ବହୁଭୂତ: ଗଣିତ, ଏକ homogeneous polynomial, ବେଳେବେଳେ କୁହାଯାଏ ପୁରୁଣା ଲେଖାମାନ ରେ quantic, ଏକ polynomial ଯାହାର nonzero ସର୍ତ୍ତାବଳୀ ସମସ୍ତ ସମାନ ଡିଗ୍ରୀ ଅଛି ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$ ଦୁଇଟି ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଡିଗ୍ରୀ 5 ର ଏକ ସମାନ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଅଟେ \| ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶବ୍ଦରେ ପ୍ରଦର୍ଶକଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 5. ବହୁଭୂତ \| $\text{[math]}$ ଏକମାତ୍ର ନୁହେଁ, କାରଣ ପ୍ରଦର୍ଶକଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ଶବ୍ଦରୁ ଶବ୍ଦ ସହିତ ମେଳ ଖାଉ ନାହିଁ \| ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏକମାତ୍ର ଏବଂ ଯଦି ଏହା ଏକ ସମାନ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରେ \|	ଗଣିତ, ଏକ homogeneous polynomial, ବେଳେବେଳେ କୁହାଯାଏ ପୁରୁଣା ଲେଖାମାନ ରେ quantic, ଏକ polynomial ଯାହାର nonzero ସର୍ତ୍ତାବଳୀ ସମସ୍ତ ସମାନ ଡିଗ୍ରୀ ଅଛି ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$
ସମଲିଙ୍ଗୀ ବହୁଭୂତ: ଗଣିତ, ଏକ homogeneous polynomial, ବେଳେବେଳେ କୁହାଯାଏ ପୁରୁଣା ଲେଖାମାନ ରେ quantic, ଏକ polynomial ଯାହାର nonzero ସର୍ତ୍ତାବଳୀ ସମସ୍ତ ସମାନ ଡିଗ୍ରୀ ଅଛି ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$ ଦୁଇଟି ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଡିଗ୍ରୀ 5 ର ଏକ ସମାନ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଅଟେ \| ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶବ୍ଦରେ ପ୍ରଦର୍ଶକଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 5. ବହୁଭୂତ \| $\text{[math]}$ ଏକମାତ୍ର ନୁହେଁ, କାରଣ ପ୍ରଦର୍ଶକଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ଶବ୍ଦରୁ ଶବ୍ଦ ସହିତ ମେଳ ଖାଉ ନାହିଁ \| ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏକମାତ୍ର ଏବଂ ଯଦି ଏହା ଏକ ସମାନ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରେ \|	ଗଣିତ, ଏକ homogeneous polynomial, ବେଳେବେଳେ କୁହାଯାଏ ପୁରୁଣା ଲେଖାମାନ ରେ quantic, ଏକ polynomial ଯାହାର nonzero ସର୍ତ୍ତାବଳୀ ସମସ୍ତ ସମାନ ଡିଗ୍ରୀ ଅଛି ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ହେଉଛି ଇଣ୍ଟିଜର୍ କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ, ଭେରିଏବଲ୍ ଏବଂ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଅପରେସନ୍ସରୁ ନିର୍ମିତ ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $3 x 2 - 2 xy + c$ ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ଯେହେତୁ ବର୍ଗାକାର ମୂଳ ନେଉଛି ସମାନ ଶକ୍ତି 1/2 କୁ ମନୋନୟନ, ପ୍ରତିଭାର ସ୍ୱୀକୃତି ପରି ଅଟେ, $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶ ହେଉଛି ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଯାହାର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ନାମ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶର ଦୁଇଟି ଉଦାହରଣ ହେଉଛି \| $\text{[math]}$ ଏବଂ $\text{[math]}$ । ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶଗୁଡିକ ଗଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶ ସହିତ ସମାନ ନିୟମ ଅଧୀନ \|	ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶ ହେଉଛି ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଯାହାର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ନାମ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶର ଦୁଇଟି ଉଦାହରଣ ହେଉଛି \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ ହେଉଛି ଏକ କାର୍ଯ୍ୟ ଯାହା ବହୁଭାଷୀ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \| ପ୍ରାୟତ al ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଏକ ସୀମିତ ସଂଖ୍ୟକ ଶବ୍ଦ ବ୍ୟବହାର କରି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, କେବଳ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅପରେସନ୍ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ ଏବଂ ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଶକ୍ତି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବୃଦ୍ଧି ସହିତ ଜଡିତ \| ଏହିପରି କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ: ଗଣିତ, କ୍ଷେତ୍ର ଙ୍କ ଉପରେ n ଚଳ ଏକ algebraic ଫଳନ କ୍ଷେତ୍ର ଏକ finitely ଆୟୋଜିତ କ୍ଷେତ୍ର ବିସ୍ତୃତକରଣ K / K ଯାହା ଙ୍କ ଉପରେ n transcendence ଡିଗ୍ରୀ ରହିଛି ହେଉଛି। Equivalently, n ଙ୍କ ଉପରେ variables ର ଏକ algebraic ଫଳନ କ୍ଷେତ୍ର ଙ୍କ ଉପରେ ଚଳ n ରେ ବିଚାରକ୍ଷମ ଫଳନଗୁଡ଼ିକର ର କ୍ଷେତ୍ର K କ୍ଷେତ୍ର ଏକ ସୀମିତ ବିସ୍ତୃତକରଣ = k (x _1, ..., x _n) ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ପାରେ।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ ହେଉଛି ଏକ କାର୍ଯ୍ୟ ଯାହା ବହୁଭାଷୀ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \| ପ୍ରାୟତ al ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଏକ ସୀମିତ ସଂଖ୍ୟକ ଶବ୍ଦ ବ୍ୟବହାର କରି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, କେବଳ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅପରେସନ୍ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ ଏବଂ ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଶକ୍ତି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବୃଦ୍ଧି ସହିତ ଜଡିତ \| ଏହିପରି କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
ମ fundamental ଳିକ ଗୋଷ୍ଠୀ: ଟୋଟୋଲୋଜିକାଲ୍ ସ୍ପେସ୍ ର ସାଧାରଣ ମ fundamental ଳିକ ଗୋଷ୍ଠୀର ଯୋଜନାଗୁଡିକ ପାଇଁ, ଇଟେଲ୍ ବା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମ fundamental ଳିକ ଗୋଷ୍ଠୀ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ଅନୁରୂପ \|
ଗୋପା କୋଡ୍: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିକ କୋଡ୍ ( AG- କୋଡ୍ ), ଅନ୍ୟଥା ଗୋପ୍ପା କୋଡ୍ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା, ଏକ ସାଧାରଣ ପ୍ରକାରର ର line ଖ୍ୟ କୋଡ୍ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବକ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ମିତ \| $\text{[math]}$ ଏକ ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ର ଉପରେ \| $\text{[math]}$ । ଭାଲେରୀ ଡେନିସୋଭିଚ୍ ଗୋପ୍ପାଙ୍କ ଦ୍ Such ାରା ଏହିପରି ସଂକେତଗୁଡିକ ପ୍ରବର୍ତ୍ତିତ ହୋଇଥିଲା \| ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ସେମାନଙ୍କର ଆକର୍ଷଣୀୟ ଚରମ ଗୁଣ ରହିପାରେ \| ସେଗୁଡିକ ବାଇନାରୀ ଗୋପ୍ପା କୋଡ୍ ସହିତ ଦ୍ୱନ୍ଦ୍ୱରେ ରହିବା ଉଚିତ୍ ନୁହେଁ, ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ମ୍ୟାକ୍ଲିଏସ୍ କ୍ରିପ୍ଟୋସିଷ୍ଟମରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି ହେଉଛି ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା, ମଲ୍ଟିଭାରିଏଟ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍ସର ଶୂନ୍ୟ ଭାବରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରେ \| ଏହି ଶୂନଗୁଡ଼ିକର ସେଟ୍ ବିଷୟରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ ପାଇଁ ଆଧୁନିକ ବୀଜ ବ ge ଜ୍ଞାନିକ ଜ୍ୟାମିତି ଅବଷ୍ଟ୍ରାକ୍ଟ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କ ques ଶଳର ବ୍ୟବହାର ଉପରେ ଆଧାରିତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି ଏବଂ ଆନାଲିଟିକ୍ ଜ୍ୟାମିତି: ଗଣିତରେ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି ଏବଂ ଆନାଲିଟିକ୍ ଜ୍ୟାମିତି ଦୁଇଟି ଘନିଷ୍ଠ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ବିଷୟ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କିସମଗୁଡିକ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁଥିବାବେଳେ, ଆନାଲିଟିକ୍ ଜ୍ୟାମିତି ଜଟିଳ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ଏବଂ ଅଧିକ ସାଧାରଣ ଆନାଲିଟିକ୍ ସ୍ପେସ୍ ସହିତ ବିଭିନ୍ନ ଜଟିଳ ଭେରିଏବଲର ଆନାଲିଟିକ୍ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଅଦୃଶ୍ୟତା ଦ୍ୱାରା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥାଏ \| ଏହି ବିଷୟଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରେ ଗଭୀର ସମ୍ପର୍କର ଅନେକ ପ୍ରୟୋଗ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କ techni ଶଳଗୁଡିକ ଆନାଲିଟିକ୍ ସ୍ପେସ୍ ଏବଂ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କିସମ ପାଇଁ ଆନାଲିଟିକ୍ କ ques ଶଳ ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ \|
ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଜ୍ୟାମିତୀରେ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ଏକ ପ୍ରମୁଖ ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରିଥାଏ \| ଏହି ଆର୍ଟିକିଲର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ହେଉଛି ଅବଷ୍ଟ୍ରାକ୍ଟ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଜ୍ୟାମିତିର ଧାରଣାକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବା ଏବଂ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ର କିଛି ମ basic ଳିକ ବ୍ୟବହାର ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗ୍ରାଫ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗ୍ରାଫ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ହେଉଛି ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା ଯେଉଁଥିରେ ଗ୍ରାଫ୍ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପଦ୍ଧତି ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ \| ଏହା ଜ୍ୟାମିତିକ, କମ୍ବିନେଟେରିକ୍, କିମ୍ବା ଆଲଗୋରିଦମିକ୍ ଆଭିମୁଖ୍ୟର ବିପରୀତ ଅଟେ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗ୍ରାଫ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ତିନୋଟି ମୁଖ୍ୟ ଶାଖା ଅଛି, ଯେଉଁଥିରେ ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବିବେଚନା, ଗୋଷ୍ଠୀ ତତ୍ତ୍ use ର ବ୍ୟବହାର ଏବଂ ଗ୍ରାଫ୍ ଇନଭାରିଅଣ୍ଟସ୍ ଅଧ୍ୟୟନ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ ହେଉଛି ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଯାହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଅଟେ, ଯେପରି କି ଗୁଣନ ଏବଂ ବିପରୀତ କାର୍ଯ୍ୟ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ନିୟମିତ ମାନଚିତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ ହେଉଛି ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଯାହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଅଟେ, ଯେପରି କି ଗୁଣନ ଏବଂ ବିପରୀତ କାର୍ଯ୍ୟ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ନିୟମିତ ମାନଚିତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ହୋଲୋଗ୍ରାଫି: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ହୋଲୋଗ୍ରାଫି , ଯାହାକୁ ବେଳେବେଳେ ରେହରେନ୍ ଦ୍ୱିପାକ୍ଷିକ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ, କାର୍ଲ-ହେନିଙ୍ଗ ରେହରେନଙ୍କ କାରଣରୁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଫିଲ୍ଡ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର framework ାଞ୍ଚାରେ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣର ହୋଲୋଗ୍ରାଫିକ୍ ନୀତି ବୁ to ିବାକୁ ଏକ ପ୍ରୟାସ \| ଏହା ବେଳେବେଳେ ଷ୍ଟ୍ରିଙ୍ଗ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର AdS / CFT ସମ୍ବାଦପତ୍ରର ଏକ ବିକଳ୍ପ ସୂତ୍ର ଭାବରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥାଏ, କିନ୍ତୁ କିଛି ଷ୍ଟ୍ରିଙ୍ଗ୍ ଥିଓରିଷ୍ଟମାନେ ଏହି ବିବୃତ୍ତିକୁ ପ୍ରତ୍ୟାଖ୍ୟାନ କରନ୍ତି \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ହୋଲୋଗ୍ରାଫିରେ ଆଲୋଚନା ହୋଇଥିବା ତତ୍ତ୍ the ଗୁଡିକ ସାଧାରଣ ହୋଲୋଗ୍ରାଫିକ୍ ନୀତି ପୂରଣ କରେ ନାହିଁ କାରଣ ସେମାନଙ୍କର ଏଣ୍ଟ୍ରପି ଏକ ଉଚ୍ଚ-ଆକାରର ଶକ୍ତି ନିୟମ ଅନୁସରଣ କରେ \|
ମର୍ଡେଲିକ୍ ବିବିଧତା: ଗଣିତରେ, ଏକ ମର୍ଡେଲିକ୍ ବିବିଧତା ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିବିଧତା ଯାହାକି କ fin ଣସି ସୀମିତ ଉତ୍ପାଦିତ କ୍ଷେତ୍ରରେ କେବଳ ଅନେକ ପଏଣ୍ଟ ଅଛି \| ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଜ୍ୟାମିତିକୁ ସେମାନଙ୍କର ଡାୟୋଫାଣ୍ଟାଇନ୍ ଗୁଣ ସହିତ ଯୋଡିଥିବା ବିଭିନ୍ନ ଧାରଣା ବିଷୟରେ ଜାଣିବା ପାଇଁ ସରୋଜ ଲାଙ୍ଗଙ୍କ ଦ୍ The ାରା ଏହି ଶବ୍ଦ ପ୍ରବର୍ତ୍ତିତ ହୋଇଥିଲା \|
ଆଦର୍ଶ (ରିଙ୍ଗ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ): ରିଙ୍ଗ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ବିସ୍ତୃତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣର ଏକ ଶାଖା, ଏକ ରିଙ୍ଗର ଏକ ଆଦର୍ଶ ହେଉଛି ଏହାର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର ଏକ ବିଶେଷ ଉପସେଟ୍ \| ଆଦର୍ଶଗୁଡ଼ିକ ଇଣ୍ଟିଜର୍ସର କିଛି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସବ୍ସେଟ୍କୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ, ଯେପରିକି ସମାନ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା 3 ର ଗୁଣନ ଏହି ବନ୍ଦ ଏବଂ ଅବଶୋଷଣ ଗୁଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଏକ ଆଦର୍ଶର ବ୍ୟାଖ୍ୟାକାରୀ ଗୁଣ \| ଏକ ଆଦର୍ଶରେ ଏକ କ୍ୱିଣ୍ଟେଣ୍ଟ୍ ରିଙ୍ଗ୍ ନିର୍ମାଣ ପାଇଁ ଏକ ଆଦର୍ଶ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରିବ, ଗୋଷ୍ଠୀ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ସାଧାରଣ ସବ୍ ଗ୍ରୁପ୍ କିପରି ଏକ କ୍ୱିଣ୍ଟେଣ୍ଟ୍ ଗ୍ରୁପ୍ ଗଠନ ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରିବ \|
ପରିଚୟ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ପରିଚୟ ହେଉଛି ଗୋଟିଏ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି A ସହିତ ଅନ୍ୟ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି B ସହିତ ଜଡିତ ଏକ ସମାନତା, ଯେପରି A ଏବଂ B ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ valid ଧତା ମଧ୍ୟରେ ଭେରିଏବଲ୍ ର ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ସମାନ ମୂଲ୍ୟ ଉତ୍ପାଦନ କରେ \| ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ, A = B ହେଉଛି ଏକ ପରିଚୟ ଯଦି A ଏବଂ B ସମାନ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରେ, ଏବଂ ଏକ ପରିଚୟ ହେଉଛି କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ସମାନତା ଯାହା ଭିନ୍ନ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥାଏ \| ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$ ଏବଂ $\text{[math]}$ ପରିଚୟ ଅଟେ \| ପରିଚୟ ବେଳେବେଳେ ପରିବର୍ତ୍ତେ $=$ ର Triple ଦଣ୍ଡିକା ପ୍ରତୀକ $\equiv$ ଦ୍ୱାରା indicated ହୋଇଥାଏ, ଚିହ୍ନ ସମାନ।
ପରିଚୟ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ପରିଚୟ ହେଉଛି ଗୋଟିଏ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି A ସହିତ ଅନ୍ୟ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି B ସହିତ ଜଡିତ ଏକ ସମାନତା, ଯେପରି A ଏବଂ B ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ valid ଧତା ମଧ୍ୟରେ ଭେରିଏବଲ୍ ର ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ସମାନ ମୂଲ୍ୟ ଉତ୍ପାଦନ କରେ \| ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ, A = B ହେଉଛି ଏକ ପରିଚୟ ଯଦି A ଏବଂ B ସମାନ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରେ, ଏବଂ ଏକ ପରିଚୟ ହେଉଛି କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ସମାନତା ଯାହା ଭିନ୍ନ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥାଏ \| ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$ ଏବଂ $\text{[math]}$ ପରିଚୟ ଅଟେ \| ପରିଚୟ ବେଳେବେଳେ ପରିବର୍ତ୍ତେ $=$ ର Triple ଦଣ୍ଡିକା ପ୍ରତୀକ $\equiv$ ଦ୍ୱାରା indicated ହୋଇଥାଏ, ଚିହ୍ନ ସମାନ।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ independence ାଧୀନତା: ବିସ୍ତୃତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ସବ୍ସେଟ୍ \| $\text{[math]}$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ରର $\text{[math]}$ ଏକ ସବଫିଲ୍ଡ ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭାବରେ ସ୍ independent ାଧୀନ ଅଟେ \| $\text{[math]}$ ଯଦି ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ $\text{[math]}$ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କ any ଣସି ଅଣ-ତୃଟିପୂର୍ଣ୍ଣ ବହୁଜନିକ ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରନ୍ତୁ ନାହିଁ \| $\text{[math]}$ ।	ବିସ୍ତୃତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ସବ୍ସେଟ୍ \| $\text{[math]}$
ଅସମାନତା (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ଅସମାନତା ହେଉଛି ଏକ ସମ୍ପର୍କ ଯାହା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ନୁହେଁ \| ସଂଖ୍ୟା ଆକାରରେ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ସେମାନଙ୍କ ଆକାର ଅନୁଯାୟୀ ତୁଳନା କରିବା ପାଇଁ ଏହା ପ୍ରାୟତ। ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଅସମାନତାକୁ ପ୍ରତିପାଦିତ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ସୂଚନା ଅଛି: ଚିହ୍ନ ଏକ <ଅର୍ଥ b ଏକ b କମ୍ ଅଟେ। ଚିହ୍ନ ଏକ> ଅର୍ଥ b ଯେ ଏକ b ମହାନ୍।
ସୂଚନା ବୀଜ ବିବେଚନା: ଶବ୍ଦ " ସୂଚନା ବୀଜ୍ " ସୂଚନା ପ୍ରକ୍ରିୟାକରଣର ଗାଣିତିକ କ ques ଶଳକୁ ବୁ .ାଏ \| ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ସୂଚନା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ କ୍ଲୋଡ୍ ଶାନନ୍ କୁ ଫେରିଯାଏ \| ଯୋଗାଯୋଗ ଏବଂ ସଂରକ୍ଷଣକୁ ଦେଖି ଏହା ସୂଚନା ପ୍ରସାରଣର ଏକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ \| ତଥାପି, ଏହା ଏପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବିଚାର କରାଯାଇ ନାହିଁ ଯେ ସୂଚନା ବିଭିନ୍ନ ଉତ୍ସରୁ ଆସିଥାଏ ଏବଂ ଏହା ସାଧାରଣତ combined ମିଳିତ ହୋଇଥାଏ \| ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ସୂଚନା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଏହା ଅବହେଳିତ ହୋଇଛି ଯେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ସୂଚନାର ଏକ ଅଂଶରୁ ସେହି ଅଂଶଗୁଡ଼ିକୁ ବାହାର କରିବାକୁ ଚାହୁଁଛନ୍ତି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଏକ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା $co$ ରେ $କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍$ ସହିତ କିଛି ମୋନିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ର ମୂଳ ଅଟେ \| ସମସ୍ତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍, $A$ , ଯୋଗ, ବିଛିନ୍ନତା ଏବଂ ଗୁଣନ ଅଧୀନରେ ବନ୍ଦ ହୋଇଯାଏ ଏବଂ ସେଥିପାଇଁ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକ କ୍ରମାଗତ ସବ୍ରିଙ୍ଗ୍ \| ମୁଦି $ଏକ$ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ରେ ର ନିୟମିତ ଗଣନ $ℤ$ integral ନିବଦ୍ଧ ଅଛି।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଏକ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା $co$ ରେ $କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍$ ସହିତ କିଛି ମୋନିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ର ମୂଳ ଅଟେ \| ସମସ୍ତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍, $A$ , ଯୋଗ, ବିଛିନ୍ନତା ଏବଂ ଗୁଣନ ଅଧୀନରେ ବନ୍ଦ ହୋଇଯାଏ ଏବଂ ସେଥିପାଇଁ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକ କ୍ରମାଗତ ସବ୍ରିଙ୍ଗ୍ \| ମୁଦି $ଏକ$ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ରେ ର ନିୟମିତ ଗଣନ $ℤ$ integral ନିବଦ୍ଧ ଅଛି।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭିତର: କାର୍ଯ୍ୟକାରିତା ବିଶ୍ଳେଷଣରେ, ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭିତର ବା ଭେକ୍ଟର ସ୍ପେସ୍ ର ଉପସେଟର ରେଡିଆଲ୍ କର୍ଣ୍ଣଲ ହେଉଛି ଭିତରର ଧାରଣାର ପରିଶୋଧନ \| ଏହା ଏକ ପ୍ରଦତ୍ତ ସେଟ୍ ରେ ଥିବା ପଏଣ୍ଟଗୁଡିକର ସବ୍ସେଟ୍ ଅଟେ ଯାହା ସହିତ ଏହା ଶୋଷୁଛି, ଅର୍ଥାତ୍ ସେଟ୍ ର ରେଡିଆଲ୍ ପଏଣ୍ଟ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭିତରର ଉପାଦାନଗୁଡିକ ପ୍ରାୟତ internal ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ବିନ୍ଦୁ ଭାବରେ କୁହାଯାଏ \|
ଅଦୃଶ୍ୟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଇନଭିଆରାଣ୍ଟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ହେଉଛି ଅବଜେକ୍ଟ ଆଲଜେବ୍ରାର ଏକ ଶାଖା ଯାହାକି କାର୍ଯ୍ୟ ଉପରେ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଭାବ ଦୃଷ୍ଟିକୋଣରୁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କିସମ ଉପରେ ଗୋଷ୍ଠୀର କାର୍ଯ୍ୟ ସହିତ କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥାଏ \| Classically, ତତ୍ତ୍ୱ polynomial ଫଳନ ନାହିଁ invariant ଅଟେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା, କିମ୍ବା ର ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ବର୍ଣ୍ଣନାର ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଏକ ପ୍ରଦତ୍ତ ରୈଖିକ ଶ୍ରେଣୀରୁ ଡେସ୍କଟପ୍ ତଳେ, ବ୍ଯବହାର। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଆମେ ବାମ ଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା n ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା n ର ସ୍ପେସ୍ ଉପରେ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ର line ଖ୍ୟ ଗୋଷ୍ଠୀ SL _n ର କାର୍ଯ୍ୟକୁ ବିଚାର କରୁ, ତେବେ ନିର୍ଣ୍ଣୟକାରୀ ଏହି କାର୍ଯ୍ୟର ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ କାରଣ AX ର ନିର୍ଣ୍ଣୟକାରୀ X ର ନିର୍ଣ୍ଣୟକାରୀ ସହିତ ସମାନ, ଯେତେବେଳେ A ଥାଏ \| SL _{n ରେ}
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କେ-ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଜ୍ୟାମିତି, ଟପୋଲୋଜି, ରିଙ୍ଗ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ସହିତ ସଂଯୋଗ ସହିତ ଗଣିତରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କେ- ଥିଓରି ହେଉଛି ଏକ ବିଷୟ କ୍ଷେତ୍ର \| ଜ୍ୟାମିତିକ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଏବଂ ଗାଣିତିକ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକ କେ- ଗ୍ରୁପ୍ ନାମକ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକୁ ନ୍ୟସ୍ତ କରାଯାଇଛି \| ଅବଷ୍ଟ୍ରାକ୍ଟ ବୀଜ ବିବେଚନା ଅର୍ଥରେ ଏଗୁଡ଼ିକ ଗୋଷ୍ଠୀ \| ସେମାନେ ମୂଳ ବସ୍ତୁ ବିଷୟରେ ବିସ୍ତୃତ ସୂଚନା ଧାରଣ କରନ୍ତି କିନ୍ତୁ ଗଣନା କରିବା କୁଖ୍ୟାତ ଅଟେ; ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଉଲ୍ଲେଖନୀୟ ସମସ୍ୟା ହେଉଛି ଇଣ୍ଟିଜର୍ସର K- ଗ୍ରୁପ୍ ଗଣନା କରିବା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣ୍ଠି ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଲିଙ୍କ୍ ହେଉଛି ଏକ ଲିଙ୍କ୍ ଯାହା କନୱେ କ୍ଷେତ୍ର ଦ୍ 2 ାରା 2-ଟାଙ୍ଗଲରେ କ୍ଷୟ ହୋଇପାରେ \| Algebraic ଲିଙ୍କ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ algebraic ଲିଙ୍କ ଏବଂ algebraic tangles .ଯଦିଚ arborescent ଲିଙ୍କ ମୂଳତଃ ଯୋହନ H. Conway ଦ୍ୱାରା ଖୋଲା ପ୍ରାନ୍ତ କରିଥାଏ ଅନୁଭବ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଗଲା କରୁଛନ୍ତି, ସେମାନେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଧିକ ଯୁଗଳ କୁ generalized କରାଗଲା।
କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ: କ୍ରମ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆଂଶିକ ଅର୍ଡର ହୋଇଥିବା ସେଟ୍ ର କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ କିମ୍ବା ସୀମିତ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସେହି ଉପାଦାନଗୁଡିକ ଯାହା କ any ଣସି ଖାଲି ନଥିବା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ସେଟ୍ ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଦ୍ୱାରା ସବସିଡ୍ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯାହା ପୂର୍ବରୁ କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ ଉପରେ ସଦସ୍ୟ ଧାରଣ କରିନଥାଏ \| କମ୍ପାକ୍ଟେନ୍ସିର ଏହି ଧାରଣା ଏକକାଳୀନ ସେଟ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଟପୋଲୋଜିରେ କମ୍ପାକ୍ଟ ସେଟ୍ ଏବଂ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ ସୀମିତ ଭାବରେ ନିର୍ମିତ ମଡ୍ୟୁଲ୍ ଧାରଣାକୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ: କ୍ରମ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆଂଶିକ ଅର୍ଡର ହୋଇଥିବା ସେଟ୍ ର କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ କିମ୍ବା ସୀମିତ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସେହି ଉପାଦାନଗୁଡିକ ଯାହା କ any ଣସି ଖାଲି ନଥିବା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ସେଟ୍ ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଦ୍ୱାରା ସବସିଡ୍ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯାହା ପୂର୍ବରୁ କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ ଉପରେ ସଦସ୍ୟ ଧାରଣ କରିନଥାଏ \| କମ୍ପାକ୍ଟେନ୍ସିର ଏହି ଧାରଣା ଏକକାଳୀନ ସେଟ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଟପୋଲୋଜିରେ କମ୍ପାକ୍ଟ ସେଟ୍ ଏବଂ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ ସୀମିତ ଭାବରେ ନିର୍ମିତ ମଡ୍ୟୁଲ୍ ଧାରଣାକୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
ଏକ କାର୍ଯ୍ୟର ସୀମା: ଗଣିତରେ, ଏକ କାର୍ଯ୍ୟର ସୀମା ହେଉଛି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଇନପୁଟ୍ ନିକଟରେ ସେହି କାର୍ଯ୍ୟର ଆଚରଣ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ଗଣନା ଏବଂ ବିଶ୍ଳେଷଣରେ ଏକ ମ fundamental ଳିକ ଧାରଣା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣ୍ଠି ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଲିଙ୍କ୍ ହେଉଛି ଏକ ଲିଙ୍କ୍ ଯାହା କନୱେ କ୍ଷେତ୍ର ଦ୍ 2 ାରା 2-ଟାଙ୍ଗଲରେ କ୍ଷୟ ହୋଇପାରେ \| Algebraic ଲିଙ୍କ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ algebraic ଲିଙ୍କ ଏବଂ algebraic tangles .ଯଦିଚ arborescent ଲିଙ୍କ ମୂଳତଃ ଯୋହନ H. Conway ଦ୍ୱାରା ଖୋଲା ପ୍ରାନ୍ତ କରିଥାଏ ଅନୁଭବ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଗଲା କରୁଛନ୍ତି, ସେମାନେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଧିକ ଯୁଗଳ କୁ generalized କରାଗଲା।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ତର୍କ: ଗାଣିତିକ ତର୍କ ରେ, algebraic ତର୍କ ସହିତ ମାଗଣା ପ୍ରାଚଳଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକରଣ manipulating ଦ୍ୱାରା ପାଇଥିବା ୟୁକ୍ତିତର୍କ ଅଟେ।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ତର୍କ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ଷମ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ଭାଷା: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଲଜିକ୍ ଫଙ୍କସନାଲ୍ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ଭାଷା , ଯାହା ALF ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା, ଏକ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ଭାଷା ଯାହା କାର୍ଯ୍ୟକ୍ଷମ ଏବଂ ଲଜିକ୍ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ କ ques ଶଳକୁ ଏକତ୍ର କରିଥାଏ \| ଏହାର ମୂଳଦୁଆ ହେଉଛି ସମାନତା ସହିତ ହର୍ନ କ୍ଲଜ୍ ଲଜିକ୍ ଯାହା ଲଜିକ୍ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ପାଇଁ ପୂର୍ବାନୁମାନ ଏବଂ ହର୍ନ୍ କ୍ଲଜ୍, ଏବଂ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ଷମ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ପାଇଁ କାର୍ଯ୍ୟ ଏବଂ ସମୀକରଣକୁ ନେଇ ଗଠିତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବହୁଗୁଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଯାହା ମଧ୍ୟ ବହୁଗୁଣିତ \| ଏହିପରି, ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ମେନିଫୋଲ୍ଡଗୁଡିକ ହେଉଛି ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଦ୍ୱାରା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥିବା ସୁଗମ ବକ୍ର ଏବଂ ପୃଷ୍ଠଗୁଡ଼ିକର ଧାରଣାର ଏକ ସାଧାରଣକରଣ \| ଏକ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି ଗୋଲାକାର, ଯାହାକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ x ² + y ² + z ² - 1 ର ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ଭାବରେ ପରିଭାଷିତ କରାଯାଇପାରେ , ଏବଂ ତେଣୁ ଏହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମାଟ୍ରଏଡ୍: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମ୍ୟାଟ୍ରଏଡ୍ ହେଉଛି ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରଏଡ୍, ଏକ ମିଶ୍ରଣକାରୀ ଗଠନ, ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ independence ାଧୀନତାର ସମ୍ପର୍କର ଏକ ଅବକ୍ଷୟକୁ ଦର୍ଶାଏ \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମଡେଲିଂ ଭାଷା: ବଡ଼ ଆକାରର ଗାଣିତିକ ଗଣନା ପାଇଁ ଉଚ୍ଚ ଜଟିଳତା ସମସ୍ୟାର ବର୍ଣ୍ଣନା ଏବଂ ସମାଧାନ ପାଇଁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମଡେଲିଂ ଭାଷା ( AML ) ହେଉଛି ଉଚ୍ଚ ସ୍ତରୀୟ କମ୍ପ୍ୟୁଟର ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ଭାଷା \| AIMMS, AMPL, GAMS, MathProg, Mosel, ଏବଂ OPLis ପରି କେତେକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମଡେଲିଂ ଭାଷାର ଏକ ବିଶେଷ ସୁବିଧା, ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟାର ଗାଣିତିକ ନୋଟ ସହିତ ସେମାନଙ୍କର ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସର ସମାନତା \| ଏହା ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ଡୋମେନ୍ ରେ ଥିବା ସମସ୍ୟାଗୁଡିକର ଏକ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଏବଂ ପଠନୀୟ ପରିଭାଷା ପାଇଁ ଅନୁମତି ଦିଏ, ଯାହାକି ସେଟ୍, ଇଣ୍ଡେକ୍ସ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, ଶକ୍ତିଶାଳୀ ସ୍ୱଳ୍ପ ସୂଚକାଙ୍କ ଏବଂ ଡାଟା ହ୍ୟାଣ୍ଡଲିଂ ଭେରିଏବଲ୍, ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ନାମ ସହିତ ପ୍ରତିବନ୍ଧକ ପରି କେତେକ ଭାଷା ଉପାଦାନ ଦ୍ୱାରା ସମର୍ଥିତ \| ଏକ ମଡେଲର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସୂତ୍ରରେ ଏହାକୁ କିପରି ପ୍ରକ୍ରିୟାକରଣ କରାଯିବ ସେ ସମ୍ବନ୍ଧରେ କ h ଣସି ସୂଚନା ନାହିଁ \|
ମଲ୍ଟିଗ୍ରିଡ୍ ପଦ୍ଧତି: ସାଂଖ୍ୟିକ ବିଶ୍ଳେଷଣରେ, ଏକ ମଲ୍ଟିଗ୍ରିଡ୍ ପଦ୍ଧତି ହେଉଛି ବିବେକକରଣର ଏକ ହାଇରାର୍କି ବ୍ୟବହାର କରି ଭିନ୍ନକ୍ଷମ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ପାଇଁ ଏକ ଆଲଗୋରିଦମ \| ମଲ୍ଟିରେସୋଲ୍ୟୁସନ ପଦ୍ଧତି କୁହାଯାଉଥିବା କ techni ଶଳଗୁଡିକର ଏକ ଉଦାହରଣ, ସେମାନେ ଆଚରଣର ଏକାଧିକ ମାପକାଠି ପ୍ରଦର୍ଶିତ କରିବାରେ ବହୁତ ଉପଯୋଗୀ \| ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଅନେକ ମ basic ଳିକ ଆରାମଦାୟକ ପଦ୍ଧତିଗୁଡିକ ସ୍ୱଳ୍ପ ଏବଂ ଦୀର୍ଘ-ତରଙ୍ଗଦ eng ର୍ଘ୍ୟ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସମ୍ମିଶ୍ରଣର ବିଭିନ୍ନ ହାର ପ୍ରଦର୍ଶନ କରେ, ଏହି ଭିନ୍ନ ମାପକୁ ଭିନ୍ନ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରିବାକୁ ପରାମର୍ଶ ଦେଇଥାଏ, ଯେପରି ମଲ୍ଟିଗ୍ରିଡ୍ ପାଇଁ ଏକ ଫୁରିଅର୍ ଆନାଲିସିସ୍ ଆଭିମୁଖ୍ୟ \| MG ପଦ୍ଧତିଗୁଡିକ ସଲଭର ଏବଂ ପୂର୍ବ ସର୍ତ୍ତଗୁଡିକ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରିବ \|
Eigenvalues ଏବଂ eigenvectors: ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ , ଏକ ଇଜେନଭେକ୍ଟର୍ କିମ୍ବା ଏକ ର ar ଖିକ ରୂପାନ୍ତରର ଚରିତ୍ରିକ ଭେକ୍ଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ଅଣଜିରୋ ଭେକ୍ଟର୍ ଯାହା ସେହି ସ୍କେଲାର୍ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍ ଦ୍ୱାରା ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ ଯେତେବେଳେ ସେହି ର line ଖିକ ରୂପାନ୍ତର ପ୍ରୟୋଗ ହୁଏ \| ସଂପୃକ୍ତ ଇଜେନଭାଲ୍ୟୁ , ପ୍ରାୟତ। ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ \| $\text{[math]}$ , ସେହି କାରକ ଯାହା ଦ୍ e ାରା ଇଜେନଭେକ୍ଟର ମାପାଯାଇଥାଏ \|	ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ , ଏକ ଇଜେନଭେକ୍ଟର୍ କିମ୍ବା ଏକ ର ar ଖିକ ରୂପାନ୍ତରର ଚରିତ୍ରିକ ଭେକ୍ଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ଅଣଜିରୋ ଭେକ୍ଟର୍ ଯାହା ସେହି ସ୍କେଲାର୍ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍ ଦ୍ୱାରା ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ ଯେତେବେଳେ ସେହି ର line ଖିକ ରୂପାନ୍ତର ପ୍ରୟୋଗ ହୁଏ \| ସଂପୃକ୍ତ ଇଜେନଭାଲ୍ୟୁ , ପ୍ରାୟତ। ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସାଧାରଣ ରୂପ: ବୁଲିୟନ୍ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ , ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସାଧାରଣ ଫର୍ମ ( ANF ), ରିଙ୍ଗ୍ ରାଶି ସାଧାରଣ ଫର୍ମ , ଜେଗାଲ୍କିନ୍ ସାଧାରଣ ଫର୍ମ , କିମ୍ବା ରିଡ୍ - ମଲେର ବିସ୍ତାର ହେଉଛି ତିନୋଟି ଉପଫର୍ମର ଗୋଟିଏରେ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସୂତ୍ର ଲେଖିବାର ଏକ ଉପାୟ: ସମଗ୍ର ସୂତ୍ରଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସତ୍ୟ ବା ମିଥ୍ୟା: ୧ 0 ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଭେରିଏବଲ୍ ଏକ ଶବ୍ଦରେ ଏକତ୍ରିତ ହୋଇଛି, ତା'ପରେ ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଶବ୍ଦ ଏକତ୍ର ANF ରେ XORed \| କ NOT ଣସି ଟିପ୍ପଣୀ ଅନୁମୋଦିତ ନୁହେଁ: a ⊕ b ⊕ ab ⊕ abc \| କିମ୍ବା ମାନକ ପ୍ରସ୍ତାବିତ ତର୍କର ପ୍ରତୀକଗୁଡ଼ିକରେ: $\text{[math]}$ ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସତ୍ୟ ଶବ୍ଦ ସହିତ ପୂର୍ବ ସବ୍ଫର୍ମ: 1 ⊕ a ⊕ b ⊕ ab ⊕ abc \|	ବୁଲିୟନ୍ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ , ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସାଧାରଣ ଫର୍ମ ( ANF ), ରିଙ୍ଗ୍ ରାଶି ସାଧାରଣ ଫର୍ମ , ଜେଗାଲ୍କିନ୍ ସାଧାରଣ ଫର୍ମ , କିମ୍ବା ରିଡ୍ - ମଲେର ବିସ୍ତାର ହେଉଛି ତିନୋଟି ଉପଫର୍ମର ଗୋଟିଏରେ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସୂତ୍ର ଲେଖିବାର ଏକ ଉପାୟ: ସମଗ୍ର ସୂତ୍ରଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସତ୍ୟ ବା ମିଥ୍ୟା: \ n \| ୧ \ n 0 \ n ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଭେରିଏବଲ୍ ଏକ ଶବ୍ଦରେ ଏକତ୍ରିତ ହୋଇଛି, ତା'ପରେ ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଶବ୍ଦ ଏକତ୍ର ANF ରେ XORed \| କ NOT ଣସି ଟିପ୍ପଣୀ ଅନୁମୋଦିତ ନୁହେଁ: \ n a ⊕ b ⊕ ab ⊕ abc \| କିମ୍ବା ଷ୍ଟାଣ୍ଡାର୍ଡ ପ୍ରୋଜୋଜିକାଲ୍ ଲଜିକ୍ ସଙ୍କେତଗୁଡ଼ିକରେ: \ n $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ନୋଟିସ୍ କରିପାରେ: ଗଣିତ ଏବଂ କମ୍ପ୍ୟୁଟରରେ, ଇନଫିକ୍ସ ନୋଟେସନ୍, ଏକ ବାଇନାରୀ ଅପରେଟରକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବାର ଅଭ୍ୟାସ ଏବଂ ଦୁଇଟି ଅପରେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ ଅପରେଟର୍ ସହିତ ଅପରେଣ୍ଡ୍ \| ବୀଜ ଖେଳରେ ଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକର ଗତିବିଧିକୁ ରେକର୍ଡିଂ କରିବା ପାଇଁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ନୋଟେସନ୍ (ଚେସ୍) \| ଭାଷା ବିଜ୍ଞାନରେ, ବାରମ୍ବାର ବର୍ଗଗତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ, ଯାହା "ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସିଣ୍ଟାକ୍ସ" ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା, ପ୍ରାକୃତିକ ଭାଷାଗୁଡ଼ିକ କିପରି ଗଠନ ହୋଇଛି ତାହାର ଏକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ଟିପ୍ପଣୀ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା (ଚେସ): Algebraic ଚିହ୍ନ ରେକର୍ଡିଂ ଏବଂ chess ଏକ ଖେଳରେ ଘୁଞ୍ଚାଏ ବର୍ଣ୍ଣନା ପାଇଁ ମାନକ ପ୍ରଣାଳୀକୁ। ଚେସବୋର୍ଡରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗକୁ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଭାବରେ ଚିହ୍ନିବା ପାଇଁ ଏହା ଏକ ସଂଯୋଜନା ପ୍ରଣାଳୀ ଉପରେ ଆଧାରିତ \| ଅଧିକାଂଶ ବହି, ପତ୍ରିକା ଏବଂ ଖବରକାଗଜ ଦ୍ୱାରା ଏହା ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| ଇଂରାଜୀ ଭାଷାଭାଷୀ ଦେଶଗୁଡିକରେ, ବର୍ଣ୍ଣନାକାରୀ ନୋଟେସନ୍ ର ସମାନ୍ତରାଳ ପଦ୍ଧତି ସାଧାରଣତ che ଚେସ୍ ପ୍ରକାଶନରେ ପ୍ରାୟ 1980 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଥିଲା। କିଛି ଖେଳାଳି ତଥାପି ବର୍ଣ୍ଣନାକାରୀ ନୋଟିସ୍ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତି, କିନ୍ତୁ ଏହା ଆଉ ଆନ୍ତର୍ଜାତୀୟ ଚେସ୍ ପରିଚାଳନା ସଂସ୍ଥା FIDE ଦ୍ୱାରା ସ୍ୱୀକୃତିପ୍ରାପ୍ତ ନୁହେଁ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ନୋଟିସ୍ କରିପାରେ: ଗଣିତ ଏବଂ କମ୍ପ୍ୟୁଟରରେ, ଇନଫିକ୍ସ ନୋଟେସନ୍, ଏକ ବାଇନାରୀ ଅପରେଟରକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବାର ଅଭ୍ୟାସ ଏବଂ ଦୁଇଟି ଅପରେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ ଅପରେଟର୍ ସହିତ ଅପରେଣ୍ଡ୍ \| ବୀଜ ଖେଳରେ ଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକର ଗତିବିଧିକୁ ରେକର୍ଡିଂ କରିବା ପାଇଁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ନୋଟେସନ୍ (ଚେସ୍) \| ଭାଷା ବିଜ୍ଞାନରେ, ବାରମ୍ବାର ବର୍ଗଗତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ, ଯାହା "ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସିଣ୍ଟାକ୍ସ" ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା, ପ୍ରାକୃତିକ ଭାଷାଗୁଡ଼ିକ କିପରି ଗଠନ ହୋଇଛି ତାହାର ଏକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ଟିପ୍ପଣୀ \|
ଇନଫିକ୍ସ ଟିପ୍ପଣୀ: ଇନଫିକ୍ସ ନୋଟେସନ୍ ହେଉଛି ସାଧାରଣତ ar ଗଣିତ ଏବଂ ଲଜିକାଲ୍ ସୂତ୍ର ଏବଂ ଷ୍ଟେଟମେଣ୍ଟରେ ବ୍ୟବହୃତ ନୋଟେସନ୍ \| ଏହା ଅପରେଣ୍ଡସ୍ - "ଇନଫିକ୍ସଡ୍ ଅପରେଟର୍ସ" ମଧ୍ୟରେ ଅପରେଟରଙ୍କ ସ୍ଥାନିତ ଦ୍ୱାରା ବର୍ଣ୍ଣିତ - 2 + 2 ରେ ପ୍ଲସ୍ ସାଇନ୍ ଭଳି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା: ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଯେକ complex ଣସି ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ ଗୋଟିଏ ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଏକ ଶୂନ ନଥିବା ବହୁଜନର ମୂଳ ଅଟେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର \| $\text{[math]}$ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରର ଏକ ସୀମିତ ଡିଗ୍ରୀ କ୍ଷେତ୍ର ବିସ୍ତାର ଅଟେ \| $\text{[math]}$ । ଏହିପରି \| $\text{[math]}$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ଯାହା ଧାରଣ କରେ \| $\text{[math]}$ ଏବଂ ଏକ ଭେକ୍ଟର ସ୍ପେସ୍ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯିବାବେଳେ ଏହାର ସୀମିତ ପରିମାଣ ଅଛି \| $\text{[math]}$ ।	ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର \| $\text{[math]}$ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରର ଏକ ସୀମିତ ଡିଗ୍ରୀ କ୍ଷେତ୍ର ବିସ୍ତାର ଅଟେ \| $\text{[math]}$ । ଏହିପରି \| $\text{[math]}$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ଯାହା ଧାରଣ କରେ \| $\text{[math]}$ ଏବଂ ଏକ ଭେକ୍ଟର ସ୍ପେସ୍ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯିବାବେଳେ ଏହାର ସୀମିତ ପରିମାଣ ଅଛି \| $\text{[math]}$ ।	ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର \| $\text{[math]}$
ସର୍ବନିମ୍ନ ବହୁଭୂତ (ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବିବେଚନା): ରୈଖିକ algebra ରେ, ଏକ $n \times n$ ମାଟ୍ରିକ୍ସ $ଏକ$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ର $F$ ଉପରେ ର ସର୍ବନିମ୍ନ polynomial $μ ଏକ$ ର ଅତିକମରେ ଡିଗ୍ରୀ ଯେପରିକି $P (ଏକ) 0 =$ ହେଉଛି $F$ ଉପରେ monic polynomial $P।$ $Q (A) = 0$ ସହିତ ଅନ୍ୟ କ pol ଣସି ପଲିନୋମିଆଲ୍ $Q$ ହେଉଛି $μ A$ ର ଏକ (ବହୁଭୂତ) ଏକାଧିକ \|
ଇଣ୍ଟିଜର୍ସର ରିଙ୍ଗ: ରେ ଗଣିତ, ଏକ algebraic ସଂଖ୍ଯା କ୍ଷେତ୍ର $K$ ଗଣନ ର Ring $କେ$ ରେ ଧାରଣ ସମସ୍ତ integral ଉପାଶଂଗୁଡିକର ମୁଦି ଅଟେ। ଏକ ଅବିଚ୍ଛେଦ୍ୟ ଉପାଦାନ ହେଉଛି ଇଣ୍ଟିଜର୍ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ ଏକ ମୋନିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ର ମୂଳ, $x n + c n -1 x n -1 + ... + c 0$ \| ଏହି ରିଙ୍ଗକୁ ପ୍ରାୟତ $O O K$ କିମ୍ବା ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଇଥାଏ \| $\text{[math]}$ । ଯେହେତୁ କୌଣସି ଇଣ୍ଟିଜର୍ $K$ ଆସେ ଏବଂ ର $K$ ଏକ integral ଉପାଦାନ ହେଉଛି, ଅଙ୍ଗୁରୀଯ $Z$ ସର୍ବଦା $େହ କେ$ ଏକ subring ଅଟେ।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ନମ୍ବର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ହେଉଛି ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଏକ ଶାଖା ଯାହା ଇଣ୍ଟିଜର୍ସ, ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସାଧାରଣକରଣ ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାର କ ques ଶଳ ବ୍ୟବହାର କରେ \| ସଂଖ୍ୟା-ତତ୍ତ୍ questions ିକ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବସ୍ତୁର ଗୁଣ ପରି ବର୍ଣ୍ଣିତ ହୋଇଛି ଯେପରିକି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା, ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ର, ଏବଂ କାର୍ଯ୍ୟ କ୍ଷେତ୍ର \| ଏହି ଗୁଣଗୁଡିକ, ଯେପରିକି ଏକ ରିଙ୍ଗ ଅନନ୍ୟ ଫ୍ୟାକ୍ଟ୍ରାଇଜେସନ୍, ଆଦର୍ଶର ଆଚରଣ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରର ଗାଲୋଇସ୍ ଗୋଷ୍ଠୀକୁ ସ୍ୱୀକାର କରେ କି, ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ପ୍ରାଥମିକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକ ସମାଧାନ କରିପାରିବ, ଯେପରି ଡାଇଓଫାଣ୍ଟାଇନ୍ ସମୀକରଣର ସମାଧାନର ଅସ୍ତିତ୍ୱ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା: ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଯେକ complex ଣସି ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ ଗୋଟିଏ ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଏକ ଶୂନ ନଥିବା ବହୁଜନର ମୂଳ ଅଟେ \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣିତରେ, ଏକ ମ basic ଳିକ ବୀଜ ବ ra ଜ୍ଞାନିକ କାର୍ଯ୍ୟ ହେଉଛି ଗଣିତର ସାଧାରଣ କାର୍ଯ୍ୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ଯେଉଁଥିରେ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ, ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଶକ୍ତି ବୃଦ୍ଧି ଏବଂ ମୂଳ ଗ୍ରହଣ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ \| ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ପ୍ରତୀକ ସହିତ ଅକ୍ଷର ମଧ୍ଯ ବ୍ୟବହାର କରି। ସେଗୁଡିକ ମଧ୍ୟ ସମାନ ଭାବରେ, ଭେରିଏବଲ୍, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ଏବଂ ସାଧାରଣତ, ବୀଜ ବ structures ଜ୍ଞାନିକ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଉପରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରାଯାଇପାରେ, ଯେପରିକି ଗୋଷ୍ଠୀ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ର \| ଏକ ସେଟ୍ ର କାର୍ଟେସିଆନ୍ ପାୱାର୍ ଠାରୁ ସମାନ ସେଟ୍ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଅପରେସନ୍ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣିତରେ, ଏକ ମ basic ଳିକ ବୀଜ ବ ra ଜ୍ଞାନିକ କାର୍ଯ୍ୟ ହେଉଛି ଗଣିତର ସାଧାରଣ କାର୍ଯ୍ୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ଯେଉଁଥିରେ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ, ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଶକ୍ତି ବୃଦ୍ଧି ଏବଂ ମୂଳ ଗ୍ରହଣ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ \| ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ପ୍ରତୀକ ସହିତ ଅକ୍ଷର ମଧ୍ଯ ବ୍ୟବହାର କରି। ସେଗୁଡିକ ମଧ୍ୟ ସମାନ ଭାବରେ, ଭେରିଏବଲ୍, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ଏବଂ ସାଧାରଣତ, ବୀଜ ବ structures ଜ୍ଞାନିକ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଉପରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରାଯାଇପାରେ, ଯେପରିକି ଗୋଷ୍ଠୀ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ର \| ଏକ ସେଟ୍ ର କାର୍ଟେସିଆନ୍ ପାୱାର୍ ଠାରୁ ସମାନ ସେଟ୍ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଅପରେସନ୍ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବକ୍ର: ଗଣିତରେ, ଏକ ଆଫାଇନ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ର ହେଉଛି ଦୁଇଟି ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ବହୁଭୂତିର ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ \| ଏକ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ର ହେଉଛି ତିନୋଟି ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଏକ ସମଲିଙ୍ଗୀ ବହୁଜନିଆର ଏକ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ପ୍ଲେନରେ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ \| ଏକ ଆଫିନ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ର ଏହାର ପରିଭାଷିତ ବହୁଭୂତକୁ ହୋମୋଜେନାଇଜ୍ କରି ଏକ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ରରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ହୋଇପାରିବ \| ଅପରପକ୍ଷେ, ସମକକ୍ଷ ସମୀକରଣ $h (x, y, t) = 0$ ର ଏକ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିମାନ ବକ୍ରତା $h (x, y, 1) = 0$ ସମୀକରଣର ଆଫାଇନ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ରରେ ସୀମିତ ହୋଇପାରେ \| ଏହି ଦୁଇଟି ଅପରେସନ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକଟି ବିପରୀତ; ତେଣୁ, ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ର ବାକ୍ୟାଂଶ ପ୍ରାୟତ aff ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ନକରି ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ କି ଏହା ଆଫାଇନ୍ କିମ୍ବା ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ କେସ୍ ଯାହା ବିବେଚନା କରାଯାଏ \|
କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ: କ୍ରମ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆଂଶିକ ଅର୍ଡର ହୋଇଥିବା ସେଟ୍ ର କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ କିମ୍ବା ସୀମିତ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସେହି ଉପାଦାନଗୁଡିକ ଯାହା କ any ଣସି ଖାଲି ନଥିବା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ସେଟ୍ ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଦ୍ୱାରା ସବସିଡ୍ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯାହା ପୂର୍ବରୁ କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ ଉପରେ ସଦସ୍ୟ ଧାରଣ କରିନଥାଏ \| କମ୍ପାକ୍ଟେନ୍ସିର ଏହି ଧାରଣା ଏକକାଳୀନ ସେଟ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଟପୋଲୋଜିରେ କମ୍ପାକ୍ଟ ସେଟ୍ ଏବଂ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ ସୀମିତ ଭାବରେ ନିର୍ମିତ ମଡ୍ୟୁଲ୍ ଧାରଣାକୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
କାର୍ଯ୍ୟର କ୍ରମ: ଗଣିତ ଏବଂ କମ୍ପ୍ୟୁଟର ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂରେ, ଅପରେସନ୍ସର କ୍ରମ ହେଉଛି ନିୟମର ଏକ ସଂଗ୍ରହ ଯାହା ଏକ ପ୍ରଦତ୍ତ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ କେଉଁ ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରଥମେ କରିବା ଉଚିତ ସେ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ନିୟମାବଳୀକୁ ପ୍ରତିଫଳିତ କରିଥାଏ \|
ବୀଜ ବିବେଚନା: Algebra ଗଣିତର ପ୍ରଶସ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ହେଉଛି, ଏକତ୍ର ତତ୍ତ୍ୱ ସଂଖ୍ଯା, ଜ୍ୟାମିତି ଏବଂ ବିଶ୍ଳେଷଣ ସହିତ। ଏହାର ସାଧାରଣ ରୂପରେ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ହେଉଛି ଗାଣିତିକ ପ୍ରତୀକଗୁଡ଼ିକର ଅଧ୍ୟୟନ ଏବଂ ଏହି ପ୍ରତୀକଗୁଡ଼ିକୁ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ କରିବାର ନିୟମ; ଏହା ପ୍ରାୟ ସମସ୍ତ ଗଣିତର ଏକୀକରଣ ସୂତ୍ର \| ଏହା ପ୍ରାଥମିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନଠାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଗ୍ରୁପ୍, ରିଙ୍ଗ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ର ପରି ଅବକ୍ଷୟ ଅଧ୍ୟୟନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସବୁକିଛି ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣର ଅଧିକ ମ basic ଳିକ ଅଂଶଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରାଥମିକ ବୀଜ ବିବେଚନା କରାଯାଏ; ଅଧିକ ବିସ୍ତୃତ ଅଂଶଗୁଡ଼ିକୁ ଅବଷ୍ଟ୍ରାକ୍ଟ ବୀଜ ବିବେଚନା ବା ଆଧୁନିକ ବୀଜ ବିବେଚନା କୁହାଯାଏ \| ଗଣିତ, ବିଜ୍ଞାନ, କିମ୍ବା ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂର ଯେକ study ଣସି ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ medicine ଷଧ ଏବଂ ଅର୍ଥନୀତି ଭଳି ପ୍ରୟୋଗ ପାଇଁ ପ୍ରାଥମିକ ବୀଜ ବିବେଚନା ସାଧାରଣତ essential ଜରୁରୀ ବୋଲି ବିବେଚନା କରାଯାଏ \| ଉନ୍ନତ ଗଣିତରେ ଅବକ୍ଷୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଏକ ପ୍ରମୁଖ କ୍ଷେତ୍ର, ମୁଖ୍ୟତ professional ବୃତ୍ତିଗତ ଗଣିତଜ୍ଞଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯାଇଥିଲା \|
ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଜ୍ୟାମିତି: ଗଣିତରେ, ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଜ୍ୟାମିତ୍ରୀ ହେଉଛି ଜ୍ୟାମିତିକ ଗୁଣଗୁଡିକର ଅଧ୍ୟୟନ ଯାହା ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମେସନ୍ ସହିତ ଅଲଗା ଅଟେ \| ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି, ପ୍ରାଥମିକ ଇଉକ୍ଲିଡିଆନ୍ ଜ୍ୟାମିତ୍ରୀ ତୁଳନାରେ, ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ଭିନ୍ନ ସେଟିଂ, ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ଏବଂ ମ basic ଳିକ ଜ୍ୟାମିତିକ ଧାରଣାର ଏକ ଚୟନକାରୀ ସେଟ୍ ଅଛି \| ମ basic ଳିକ ଅନ୍ତର୍ନିହିତତା ହେଉଛି ଯେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପରିମାଣ ପାଇଁ ଇଉକ୍ଲିଡିଆନ୍ ସ୍ପେସ୍ ଅପେକ୍ଷା ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ଅଧିକ ପଏଣ୍ଟ ଅଛି ଏବଂ ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିବର୍ତ୍ତନକୁ ଅନୁମତି ଦିଆଯାଇଛି ଯାହା ଅତିରିକ୍ତ ପଏଣ୍ଟଗୁଡ଼ିକୁ ଇଉକ୍ଲିଡିଆନ୍ ପଏଣ୍ଟରେ ରୂପାନ୍ତର କରିଥାଏ ଏବଂ ବିପରୀତରେ \|
ବଦଳର ନିୟମ: ତର୍କରେ, ପ୍ରତିସ୍ଥାପନର ଏକ ନିୟମ ହେଉଛି ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନ ନିୟମ ଯାହା କେବଳ ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିଭାଗରେ ପ୍ରୟୋଗ ହୋଇପାରେ \| ଏକ ଲଜିକାଲ୍ ସିଷ୍ଟମ୍ ନିର୍ମାଣ ହୋଇପାରେ ଯାହା ଦ୍ it ାରା ଏହା ଆକ୍ସିଓମ୍, ଇନ୍ଫେରେନ୍ସ ନିୟମ କିମ୍ବା ଉଭୟ ସିଷ୍ଟମରେ ଲଜିକାଲ୍ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ପାଇଁ ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମେସନ୍ ନିୟମ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରେ \| ଯେତେବେଳେ କି ଏକ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ପାଇଁ ଏକ ନିୟମ ସର୍ବଦା ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ, କେବଳ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିଭାଗରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନର ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ ହୋଇପାରେ \| ଏକ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ପ୍ରମାଣ ପରିପ୍ରେକ୍ଷୀରେ, ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ଭାବରେ ସମାନ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ପରସ୍ପରକୁ ବଦଳାଇପାରେ \| ପ୍ରସ୍ତାବଗୁଡ଼ିକର ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ପାଇଁ ପ୍ରସ୍ତାବିତ ତର୍କରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନର ନିୟମ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \|
ସ୍ଥାନୀୟ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଫିଲ୍ଡ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଫିଲ୍ଡ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ପାଇଁ Haag - Kastler axiomatic framework ାଞ୍ଚା , Haag ଏବଂ Kastler (1964) ଦ୍ introduced ାରା ଉପସ୍ଥାପିତ ହୋଇଛି, C * -algebra ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ସ୍ଥାନୀୟ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନ ପାଇଁ ଏକ ପ୍ରୟୋଗ \| ଏହି କାରଣରୁ ଏହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଫିଲ୍ଡ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ( AQFT ) ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା \| ମିନକୋସ୍କି ସ୍ପେସରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଖୋଲା ସେଟ୍ ପାଇଁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଏକ ବୀଜ ବିବେକ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ମ୍ୟାପିଙ୍ଗ୍ ଅନୁଯାୟୀ ଆକ୍ସିୟମ୍ ଗୁଡିକ ଦର୍ଶାଯାଇଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ପୁନ recon ନିର୍ମାଣ କ techni ଶଳ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୁନ recon ନିର୍ମାଣ କ techni ଶଳ (ART) ହେଉଛି ଗଣିତ ଟମୋଗ୍ରାଫିରେ ବ୍ୟବହୃତ ଏକ ପୁନରାବୃତ୍ତି ପୁନ recon ନିର୍ମାଣ କ techni ଶଳ \| ଏହା ଏକ କୋଣାର୍କ ପ୍ରୋଜେକସନରୁ ଏକ ପ୍ରତିଛବିକୁ ପୁନ str ନିର୍ମାଣ କରେ \| ଗର୍ଡନ୍, ବେଣ୍ଡର୍ ଏବଂ ହରମାନ ପ୍ରଥମେ ପ୍ରତିଛବି ପୁନ struction ନିର୍ମାଣରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର ଦେଖାଇଲେ; ଯେତେବେଳେ ପଦ୍ଧତିଟି ସାଂଖ୍ୟିକ ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ କାଜମାରଜ୍ ପଦ୍ଧତି ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣିତରେ, k- ଆଲଜେବ୍ରା A ଉପରେ ଏକ ଗ୍ରୁପ୍ G ର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଉପସ୍ଥାପନା ହେଉଛି ଏକ ର ar ଖ୍ୟ ଉପସ୍ଥାପନା \| $\text{[math]}$ ଯେପରିକି, G ରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ g ପାଇଁ, $\text{[math]}$ ଏକ ବୀଜଜୀବୀ ଅଟୋମୋର୍ଫିଜିମ୍ \| ଏହିପରି ଏକ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ସହିତ ସଜ୍ଜିତ, ବୀଜ୍ A କୁ ପରେ G -algebra କୁହାଯାଏ \|	ଗଣିତରେ, k- ଆଲଜେବ୍ରା A ଉପରେ ଏକ ଗ୍ରୁପ୍ G ର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଉପସ୍ଥାପନା ହେଉଛି ଏକ ର ar ଖ୍ୟ ଉପସ୍ଥାପନା \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ରିକ୍କାଟି ସମୀକରଣ: ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ରିକ୍କାଟୀ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଏକ ପ୍ରକାର ଅଣ-ର ar ଖିକ ସମୀକରଣ ଯାହା କ୍ରମାଗତ ସମୟ କିମ୍ବା ପୃଥକ ସମୟରେ ଅସୀମ-ରାଶିଫଳ ଉତ୍କୃଷ୍ଟ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ସମସ୍ୟା ପରିପ୍ରେକ୍ଷୀରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ \|
ରିଙ୍ଗ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ରିଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂରଚନା ଯାହା କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ: ଗୁଣନ କ୍ରମାଗତ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ନୁହେଁ ଏବଂ ଗୁଣନ ଇନଭର୍ସ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ ନାହିଁ \| ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ, ଏକ ରିଙ୍ଗ ହେଉଛି ଦୁଇଟି ବାଇନାରୀ ଅପରେସନ୍ ସହିତ ସଜ୍ଜିତ ଗୁଣ ଯାହା ଇଣ୍ଟିଜର୍ସର ଯୋଗ ଏବଂ ଗୁଣନ ସହିତ ସମାନ ଅଟେ \| ରିଙ୍ଗ୍ ଉପାଦାନଗୁଡିକ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ ଯେପରିକି ଇଣ୍ଟିଜର୍ କିମ୍ବା ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା, କିନ୍ତୁ ସେଗୁଡ଼ିକ ଅଣ-ସାଂଖ୍ୟିକ ବସ୍ତୁ ଯେପରିକି ପଲିନୋମିଆଲ୍, ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ, ଫଙ୍କସନ୍, ଏବଂ ପାୱାର୍ ସିରିଜ୍ ହୋଇପାରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ ବା ବହୁଜନିକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଫର୍ମର ଏକ ସମୀକରଣ \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଶବ୍ଦକୋଷ: ଏହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ଶବ୍ଦକୋଷ ଅଟେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥଗୁଡିକ : ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସେମାଣ୍ଟିକ୍ସ (କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନ): କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନରେ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସେମାଣ୍ଟିକ୍ସ ହେଉଛି ଏକ ଆନୁଷ୍ଠାନିକ sem ଙ୍ଗରେ ପ୍ରୋଗ୍ରାମ ସେମାଣ୍ଟିକ୍ସ ବିଷୟରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ଏବଂ ଯୁକ୍ତି କରିବା ପାଇଁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନିୟମ ଉପରେ ଆଧାରିତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥଗୁଡିକ : ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ (ଗାଣିତିକ ତର୍କ): ଗାଣିତିକ ତର୍କ ରେ, algebraic ଅର୍ଥ ବିନ୍ୟାସ algebraic ତର୍କ ଅଂଶ ଭାବରେ ଅଧ୍ୟୟନ algebras ଉପରେ ଆଧାରିତ ଔପଚାରିକ ଅର୍ଥ ବିନ୍ୟାସ ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ମୋଡାଲ୍ ଲଜିକ୍ S4 ଟପୋଲୋଜିକାଲ୍ ବୁଲିୟାନ୍ ଆଲଜେବ୍ରାସ୍ ଶ୍ରେଣୀ ଦ୍ୱାରା ବର୍ଣ୍ଣିତ - ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ଇଣ୍ଟେରିଅର୍ ଅପରେଟର୍ ସହିତ ବୁଲିୟାନ୍ ଆଲଜେବ୍ରା \| ଅନ୍ୟ ମୋଡାଲ୍ ଲଜିକ୍ସ ଅପରେଟର୍ ସହିତ ବିଭିନ୍ନ ଆଲଜେବ୍ରା ଦ୍ୱାରା ବର୍ଣ୍ଣିତ \| ବୁଲିୟାନ୍ ଆଲଜେବ୍ରାସର ଶ୍ରେଣୀ ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ପ୍ରସ୍ତାବିତ ତର୍କକୁ, ଏବଂ ହେଟିଂ ଆଲଜେବ୍ରାସ୍ ପ୍ରସ୍ତାବିତ ଅନ୍ତର୍ନିହିତ ତର୍କର ଶ୍ରେଣୀକୁ ବର୍ଣ୍ଣିତ କରେ \| MV-algebras ହେଉଛି Łukasiewicz ତର୍କର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବାକ୍ୟ: ଗାଣିତିକ ତର୍କରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବାକ୍ୟ ହେଉଛି ଯାହା ମାଗଣା ଭେରିଏବଲ୍ ସହିତ ଶବ୍ଦ ମଧ୍ୟରେ ସମୀକରଣ ବ୍ୟବହାର କରି ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇପାରେ \| ଅସମାନତା ଏବଂ ପରିମାଣଗୁଡିକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାବରେ ଅନୁମୋଦିତ ନୁହେଁ \| ସେଣ୍ଟେନସିଆଲ୍ ଲଜିକ୍ ହେଉଛି କେବଳ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ବାକ୍ୟ ସହିତ ଜଡିତ ପ୍ରଥମ କ୍ରମର ତର୍କର ଉପସେଟ୍ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିଭିନ୍ନ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କିସମଗୁଡିକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଅଧ୍ୟୟନର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ବସ୍ତୁ, ଗଣିତର ଏକ ଉପ-କ୍ଷେତ୍ର \| ସାଧାରଣତ ,, ପ୍ରକୃତ ବା ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ବହୁଜନିଆ ସମୀକରଣର ଏକ ସିଷ୍ଟମର ସମାଧାନର ସେଟ୍ ଭାବରେ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିବିଧତାକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଛି \| ମୂଳ ପରିଭାଷା ପଛରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ଅନ୍ତ u କରଣକୁ ବଞ୍ଚାଇବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଥିବାବେଳେ ଆଧୁନିକ ସଂଜ୍ଞା ଏହି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
ଚିହ୍ନ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଚିହ୍ନର ଧାରଣା ସମ୍ପତ୍ତିରୁ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକୃତ ସଂଖ୍ୟା ସକରାତ୍ମକ, ନକାରାତ୍ମକ କିମ୍ବା ଶୂନ୍ୟ \| ସ୍ଥାନୀୟ ସମ୍ମିଳନୀ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରି, ଶୂନକୁ ଏକ ସକାରାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା, କିମ୍ବା ନକାରାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଉଭୟ ନକାରାତ୍ମକ ଏବଂ ସକରାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯାଏ \| ଯେତେବେଳେ ବି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାବରେ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇ ନାହିଁ, ଏହି ଆର୍ଟିକିଲ୍ ପ୍ରଥମ ସମ୍ମିଳନୀକୁ ପାଳନ କରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଙ୍କେତ ପ୍ରକ୍ରିୟାକରଣ: ର line ଖ୍ୟ ସଙ୍କେତ ପ୍ରକ୍ରିୟାକରଣର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ତତ୍ତ୍ In ରେ, ଫିଲ୍ଟରଗୁଡିକର ଏକ ସେଟ୍କୁ ବୀଜ ବିବେଚନା କରାଯାଏ ଏବଂ ସିଗ୍ନାଲ୍ ର ଏକ ସେଟ୍କୁ ଏକ ମଡ୍ୟୁଲ୍ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ ଏବଂ z- ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମକୁ ର line ଖ୍ୟ ମାନଚିତ୍ରରେ ସାଧାରଣ କରାଯାଇଥାଏ \|
ଦସ୍ତଖତ (ତର୍କ): ତର୍କରେ, ବିଶେଷକରି ଗାଣିତିକ ତର୍କରେ, ଏକ ଦସ୍ତଖତ ଏକ ଆନୁଷ୍ଠାନିକ ଭାଷାର ଅଣ-ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ପ୍ରତୀକଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରେ ଏବଂ ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ \| ସର୍ବଭାରତୀୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ସ୍ ature ାକ୍ଷର ଅପରେସନ୍ଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରେ ଯାହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଠନକୁ ବର୍ଣ୍ଣିତ କରେ \| ମଡେଲ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଦସ୍ତଖତ ଉଭୟ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| ତର୍କର ଅଧିକ ଦାର୍ଶନିକ ଚିକିତ୍ସାରେ ସେଗୁଡିକ କ୍ୱଚିତ୍ ସ୍ପଷ୍ଟ କରାଯାଇଥାଏ \|
ସରଳୀକରଣ: ସରଳୀକରଣ , ସରଳୀକରଣ , କିମ୍ବା ସରଳୀକୃତ ହୋଇପାରେ:
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମାଧାନ: ରେଡିକାଲ୍ସରେ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମାଧାନ ବା ସମାଧାନ ହେଉଛି ଏକ ବନ୍ଦ-ଫର୍ମ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, ଏବଂ ଅଧିକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାବରେ ଏକ ବନ୍ଦ-ଫର୍ମ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, ଯାହା କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ଦୃଷ୍ଟିରୁ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ଅଟେ, କେବଳ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ, ବୃଦ୍ଧି ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ \| ପୂର୍ଣ୍ଣ ଶକ୍ତି, ଏବଂ nth ମୂଳର ନିଷ୍କାସନ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ଥାନ: ଗଣିତରେ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ପେସ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଜ୍ୟାମିତିର ଯୋଜନାଗୁଡିକର ଏକ ସାଧାରଣକରଣ ସୃଷ୍ଟି କରେ, ଯାହା ଆର୍ଟିନ୍ ଦ୍ de ାରା ବିକୃତି ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ବ୍ୟବହାର ପାଇଁ ପ୍ରବର୍ତ୍ତିତ ହୋଇଥିଲା \| ଅନ୍ତର୍ନିହିତ ଭାବରେ, ଜରିସ୍କି ଟପୋଲୋଜି ବ୍ୟବହାର କରି ଆଫିନ୍ ସ୍କିମ୍ ଗୁଡିକୁ ଏକତ୍ର ଗ୍ଲୁଇଙ୍ଗ୍ କରି ସ୍କିମ୍ ଦିଆଯାଏ, ଯେତେବେଳେ କି ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ସ୍ପେସ୍ ଗୁଡିକ ସୂକ୍ଷ୍ମ ଏଟେଲ୍ ଟପୋଲୋଜି ବ୍ୟବହାର କରି ଆଫାଇନ୍ ସ୍କିମ୍ ଗୁଡିକୁ ଏକତ୍ର କରି ଦିଆଯାଏ \| ବ ly କଳ୍ପିକ ଭାବରେ, ସ୍କିମଗୁଡିକ ଜରିସ୍କି ଟପୋଲୋଜିରେ ଆଫାଇନ୍ ସ୍କିମ୍ ପାଇଁ ସ୍ଥାନୀୟ ଭାବରେ ଆଇସୋମର୍ଫିକ୍ ବୋଲି ଭାବିପାରେ, ଯେତେବେଳେ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ସ୍ପେସ୍ ସ୍ଥାନୀୟ ଭାବରେ ଇଟୋଲେ ଟପୋଲୋଜିରେ ସ୍କିମ୍ ଆଫିନ୍ ଅଟେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ: ସିଷ୍ଟମ ଆଚରଣକୁ ଆନୁଷ୍ଠାନିକ ଭାବରେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କରିବା ପାଇଁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟକରଣ ହେଉଛି ଏକ ସଫ୍ଟୱେୟାର ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂ କ techni ଶଳ \| 1980 ମସିହାରେ ଏହା CS ଗବେଷଣାର ଏକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ସକ୍ରିୟ ବିଷୟ ଥିଲା \|
ବିଭାଜନ କ୍ଷେତ୍ର: ବିସ୍ତୃତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ କ୍ଷେତ୍ରର କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ ଏକ ବହୁଜନିଆର ଏକ ବିଭାଜନ କ୍ଷେତ୍ର ହେଉଛି ସେହି କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ କ୍ଷେତ୍ର ବିସ୍ତାର ଯାହା ଉପରେ ବହୁଭୂତ ବିଭାଜିତ ହୁଏ କିମ୍ବା ର ar ଖ୍ୟ କାରଣରେ କ୍ଷୟ ହୁଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଷ୍ଟାକ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଷ୍ଟାକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ପେସ୍ କିମ୍ବା ସ୍କିମର ଏକ ବୃହତ ସାଧାରଣକରଣ, ଯାହା ମଡୁଲି ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ ମୂଳଦୁଆ ଅଟେ \| ଅନେକ ମଡୁଲି ସ୍ପେସ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଷ୍ଟାକ ପାଇଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ ques ଶଳ ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ମିତ ହୋଇଛି, ଯେପରିକି ଆର୍ଟିନ୍ଙ୍କ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ଥିଓରେମ୍, ଯାହା ସୂଚିତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବକ୍ରଗୁଡ଼ିକର ମଡ୍ୟୁଲି ସ୍ପେସ୍ ନିର୍ମାଣରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| $\text{[math]}$ ଏବଂ ଏଲିପଟିକ୍ ବକ୍ରଗୁଡ଼ିକର ମଡ୍ୟୁଲି ଷ୍ଟାକ \| ମୂଳତ ,, ମଡୁଲି ସ୍ପେସ୍ ଉପରେ ଅଟୋମୋର୍ଫିଜିମ୍ ଉପରେ ନଜର ରଖିବା ପାଇଁ ସେମାନଙ୍କୁ ଗ୍ରୋଥେଣ୍ଡିକ୍ ଦ୍ introduced ାରା ପରିଚିତ କରାଯାଇଥିଲା, ଏକ କ que ଶଳ ଯାହା ଏହି ମଡୁଲି ସ୍ପେସ୍ଗୁଡ଼ିକୁ ଚିକିତ୍ସା କରିବା ପାଇଁ ଅନୁମତି ଦେଇଥାଏ ଯେପରି ସେମାନଙ୍କର ଅନ୍ତର୍ନିହିତ ସ୍କିମ୍ କିମ୍ବା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ପେସ୍ ସୁଗମ ଅଟେ \| କିନ୍ତୁ, ଅନେକ ସାଧାରଣକରଣ ମାଧ୍ୟମରେ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଷ୍ଟାକର ଧାରଣା ଶେଷରେ ମାଇକେଲ୍ ଆର୍ଟିନ୍ ଦ୍ୱାରା ଆବିଷ୍କୃତ ହେଲା \|	ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଷ୍ଟାକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ପେସ୍ କିମ୍ବା ସ୍କିମର ଏକ ବୃହତ ସାଧାରଣକରଣ, ଯାହା ମଡୁଲି ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ ମୂଳଦୁଆ ଅଟେ \| ଅନେକ ମଡୁଲି ସ୍ପେସ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଷ୍ଟାକ ପାଇଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ ques ଶଳ ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ମିତ ହୋଇଛି, ଯେପରିକି ଆର୍ଟିନ୍ଙ୍କ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ଥିଓରେମ୍, ଯାହା ସୂଚିତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବକ୍ରଗୁଡ଼ିକର ମଡ୍ୟୁଲି ସ୍ପେସ୍ ନିର୍ମାଣରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ପରିସଂଖ୍ୟାନ: ପରିସଂଖ୍ୟାନକୁ ଆଗକୁ ନେବା ପାଇଁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ହେଉଛି ବୀଜ ବିବେଚନା \| ପରୀକ୍ଷାମୂଳକ ଡିଜାଇନ୍, ପାରାମିଟର ଆକଳନ, ଏବଂ ହାଇପୋଥେସିସ୍ ପରୀକ୍ଷଣ ପାଇଁ ବୀଜ ବିବେକ ଉପଯୋଗୀ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଠନ: ଗଣିତ, ଏକ algebraic ଗଠନ ଏକ nonempty ସେଟ୍ ଏକ ଗଠିତ, ସୀମିତ arity ଏକ ଉପରେ ପରିଚାଳନାର ଏକ ସଂଗ୍ରହ, ଏବଂ ପରିଚୟ, axioms କୁହାଯାଏ ଏକ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଏହି ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ ତୃପ୍ତ। ଉଚିତ ଯେ
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଠନ: ଗଣିତ, ଏକ algebraic ଗଠନ ଏକ nonempty ସେଟ୍ ଏକ ଗଠିତ, ସୀମିତ arity ଏକ ଉପରେ ପରିଚାଳନାର ଏକ ସଂଗ୍ରହ, ଏବଂ ପରିଚୟ, axioms କୁହାଯାଏ ଏକ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଏହି ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ ତୃପ୍ତ। ଉଚିତ ଯେ
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ ହେଉଛି ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଯାହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଅଟେ, ଯେପରି କି ଗୁଣନ ଏବଂ ବିପରୀତ କାର୍ଯ୍ୟ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ନିୟମିତ ମାନଚିତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବହୁଗୁଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଯାହା ମଧ୍ୟ ବହୁଗୁଣିତ \| ଏହିପରି, ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ମେନିଫୋଲ୍ଡଗୁଡିକ ହେଉଛି ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଦ୍ୱାରା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥିବା ସୁଗମ ବକ୍ର ଏବଂ ପୃଷ୍ଠଗୁଡ଼ିକର ଧାରଣାର ଏକ ସାଧାରଣକରଣ \| ଏକ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି ଗୋଲାକାର, ଯାହାକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ x ² + y ² + z ² - 1 ର ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ଭାବରେ ପରିଭାଷିତ କରାଯାଇପାରେ , ଏବଂ ତେଣୁ ଏହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର \|
ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ (ବୀଜ ବିବେଚନା): ବୀଜ ବିବେଚନାରେ, ପ୍ରତୀକ ଧାରଣ କରିଥିବା ଆନୁଷ୍ଠାନିକ ବସ୍ତୁ ସହିତ ଜଡିତ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରସଙ୍ଗରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନର ପ୍ରୟୋଗ ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇପାରେ; ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମୂଲ୍ୟ ଦ୍ୱାରା କିଛି ସଙ୍କେତର ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବସ୍ଥିତ ଭାବରେ ବଦଳାଇବାରେ ଅପରେସନ୍ ଥାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିଭିନ୍ନ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କିସମଗୁଡିକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଅଧ୍ୟୟନର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ବସ୍ତୁ, ଗଣିତର ଏକ ଉପ-କ୍ଷେତ୍ର \| ସାଧାରଣତ ,, ପ୍ରକୃତ ବା ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ବହୁଜନିଆ ସମୀକରଣର ଏକ ସିଷ୍ଟମର ସମାଧାନର ସେଟ୍ ଭାବରେ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିବିଧତାକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଛି \| ମୂଳ ପରିଭାଷା ପଛରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ଅନ୍ତ u କରଣକୁ ବଞ୍ଚାଇବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଥିବାବେଳେ ଆଧୁନିକ ସଂଜ୍ଞା ଏହି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
ସାରାଂଶ: ଗଣିତରେ, ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଯେକ any ଣସି ପ୍ରକାରର ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମର ଯୋଗ, ଯାହାକୁ ଆଡେଣ୍ଡସ୍ କିମ୍ବା ସମମାଣ୍ଡ କୁହାଯାଏ; ଫଳାଫଳ ହେଉଛି ସେମାନଙ୍କର ରାଶି ବା ସମୁଦାୟ \| ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟତୀତ, ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ମଧ୍ୟ ସଂକ୍ଷେପରେ କରାଯାଇପାରେ: କାର୍ଯ୍ୟ, ଭେକ୍ଟର, ମାଟ୍ରିକସ୍, ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏବଂ ସାଧାରଣତ any, ଯେକ type ଣସି ପ୍ରକାରର ଗାଣିତିକ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ଉପାଦାନ, ଯେଉଁଥିରେ ଏକ ଅପରେସନ୍ "+" କୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠଭୂମି ହେଉଛି ଦୁଇ ପ୍ରକାରର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର \| ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ଷେତ୍ର ଉପରେ ଜ୍ୟାମିତି କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠରେ ଜଟିଳ ଆକାର ଦୁଇ ଏବଂ ଚାରି ଆକାରର ଏକ ସୁଗମ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ଭାବରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠଭୂମି ହେଉଛି ଦୁଇ ପ୍ରକାରର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର \| ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ଷେତ୍ର ଉପରେ ଜ୍ୟାମିତି କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠରେ ଜଟିଳ ଆକାର ଦୁଇ ଏବଂ ଚାରି ଆକାରର ଏକ ସୁଗମ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ଭାବରେ \|
ଅସ୍ତ୍ରୋପଚାର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଗଣିତରେ, ବିଶେଷ ଭାବରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ଟପୋଲୋଜିରେ, ସର୍ଜରୀ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ହେଉଛି ଜନ୍ ମିଲନୋର (୧ 6161 ୧) ଦ୍ introduced ାରା ପ୍ରବର୍ତ୍ତିତ 'ନିୟନ୍ତ୍ରିତ' ଉପାୟରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ସୀମିତ-ଡାଇମେନ୍ସନାଲ୍ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ଉତ୍ପାଦନ ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ କ techni ଶଳର ଏକ ସଂଗ୍ରହ \| ମୂଳତ different ଭିନ୍ନକ୍ଷମ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ପାଇଁ ବିକଶିତ, ଅସ୍ତ୍ରୋପଚାର କ techni ଶଳଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ସମାନ ଭାବରେ ର ar ଖ୍ୟ (PL-) ଏବଂ ଟପୋଲୋଜିକାଲ୍ ମେନିଫୋଲ୍ଡରେ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ \|
ପୁନରାବୃତ୍ତି ବର୍ଗଗତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ: ବାରମ୍ବାର ବର୍ଗୀକୃତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ , ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା, ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ-ଜେନେରେଟିଭ୍ ବ୍ୟାକରଣର ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ ମାଇକେଲ୍ ବ୍ରେମ୍ ଦ୍ୱାରା ବିକଶିତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଠନ: ଗଣିତ, ଏକ algebraic ଗଠନ ଏକ nonempty ସେଟ୍ ଏକ ଗଠିତ, ସୀମିତ arity ଏକ ଉପରେ ପରିଚାଳନାର ଏକ ସଂଗ୍ରହ, ଏବଂ ପରିଚୟ, axioms କୁହାଯାଏ ଏକ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଏହି ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ ତୃପ୍ତ। ଉଚିତ ଯେ
ଟାଙ୍ଗଲେ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ଟଙ୍ଗଲ୍ ସାଧାରଣତ two ଦୁଇଟି ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଧାରଣା ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ: ଜନ୍ କନୱେଙ୍କ ପରିଭାଷାରେ, ଏକ n- ଟାଙ୍ଗଲ୍ ହେଉଛି 3 ଟି ବଲରେ n ଆର୍କର ଅସନ୍ତୁଷ୍ଟ ୟୁନିଅନର ଏକ ସଠିକ୍ ଏମ୍ବେଡିଂ; ଏମ୍ବେଡିଂ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ବଲ୍ ର ସୀମାରେ 2 n ଚିହ୍ନିତ ପଏଣ୍ଟକୁ ଆର୍କର ଶେଷ ପଏଣ୍ଟ ପଠାଇବ \| ଲିଙ୍କ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ଟାଙ୍ଗଲ୍ ହେଉଛି n arcs ଏବଂ m ସର୍କଲଗୁଡିକର ଏକ ଏମ୍ବେଡିଂ \| $\text{[math]}$ - ପୂର୍ବ ପରିଭାଷା ଠାରୁ ପାର୍ଥକ୍ୟ ହେଉଛି ଯେ ଏହା ସର୍କଲ୍ ସହିତ ଆର୍କକୁ ମଧ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ ଏବଂ ସୀମାକୁ ଦୁଇଟି (ଆଇସୋମର୍ଫିକ୍) ଖଣ୍ଡରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭାବରେ ଅଧିକ ସୁବିଧାଜନକ ଅଟେ - ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଏହାକୁ ଷ୍ଟାକ୍ କରି ଟାଙ୍ଗଲ୍ ଯୋଡିବାକୁ ଅନୁମତି ଦିଏ \|
ଟାଙ୍ଗଲେ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ଟଙ୍ଗଲ୍ ସାଧାରଣତ two ଦୁଇଟି ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଧାରଣା ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ: ଜନ୍ କନୱେଙ୍କ ପରିଭାଷାରେ, ଏକ n- ଟାଙ୍ଗଲ୍ ହେଉଛି 3 ଟି ବଲରେ n ଆର୍କର ଅସନ୍ତୁଷ୍ଟ ୟୁନିଅନର ଏକ ସଠିକ୍ ଏମ୍ବେଡିଂ; ଏମ୍ବେଡିଂ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ବଲ୍ ର ସୀମାରେ 2 n ଚିହ୍ନିତ ପଏଣ୍ଟକୁ ଆର୍କର ଶେଷ ପଏଣ୍ଟ ପଠାଇବ \| ଲିଙ୍କ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ଟାଙ୍ଗଲ୍ ହେଉଛି n arcs ଏବଂ m ସର୍କଲଗୁଡିକର ଏକ ଏମ୍ବେଡିଂ \| $\text{[math]}$ - ପୂର୍ବ ପରିଭାଷା ଠାରୁ ପାର୍ଥକ୍ୟ ହେଉଛି ଯେ ଏହା ସର୍କଲ୍ ସହିତ ଆର୍କକୁ ମଧ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ ଏବଂ ସୀମାକୁ ଦୁଇଟି (ଆଇସୋମର୍ଫିକ୍) ଖଣ୍ଡରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭାବରେ ଅଧିକ ସୁବିଧାଜନକ ଅଟେ - ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଏହାକୁ ଷ୍ଟାକ୍ କରି ଟାଙ୍ଗଲ୍ ଯୋଡିବାକୁ ଅନୁମତି ଦିଏ \|

ଗାଣିତିକ ଗତିଶୀଳତା: ଗାଣିତିକ ଗତିଶୀଳତା ହେଉଛି ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ଯାହା ଗଣିତର ଦୁଇଟି କ୍ଷେତ୍ର, ଗତିଶୀଳ ପ୍ରଣାଳୀ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତକୁ ଏକତ୍ର କରିଥାଏ \| ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ଭାବରେ, ବିଚ୍ଛିନ୍ନ ଗତିଶୀଳତା ଜଟିଳ ବିମାନ କିମ୍ବା ପ୍ରକୃତ ଲାଇନର ସ୍ୱ-ମାନଚିତ୍ରର ପୁନରାବୃତ୍ତି ଅଧ୍ୟୟନକୁ ବୁ .ାଏ \| ଆରିଥମେଟିକ୍ ଗତିଶୀଳତା ହେଉଛି ବହୁସଂଖ୍ୟକ କିମ୍ବା ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ କାର୍ଯ୍ୟର ବାରମ୍ବାର ପ୍ରୟୋଗରେ ପୂର୍ଣ୍ଣ, ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ, $p-$ ପ୍ୟାଡିକ୍, ଏବଂ / କିମ୍ବା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପଏଣ୍ଟଗୁଡିକର ସଂଖ୍ୟା-ତତ୍ତ୍ୱିକ ଗୁଣଗୁଡିକର ଅଧ୍ୟୟନ \| ଏକ ମ fundamental ଳିକ ଲକ୍ଷ୍ୟ ହେଉଛି ଅନ୍ତର୍ନିହିତ ଜ୍ୟାମିତିକ ସଂରଚନା ଦୃଷ୍ଟିରୁ ଗାଣିତିକ ଗୁଣ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା \|
ଜେମ୍ସ ଏଚ୍ ୱିଲକିନ୍ସନ୍: ଯାକୁବ Hardy Wilkinson FRS ପଦାର୍ଥ ଏବଂ ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂ କୁ ଉପଯୋଗୀ ଗାଣିତିକ ଏବଂ କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନ ର ସୀମା ରେ ସଂଖ୍ୟା ବିଶ୍ଳେଷଣ, ଏକ କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷେତ୍ରରେ ଏକ ପ୍ରମୁଖ ଆକୃତି ଥିଲା।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଉପାଦାନ: ରେ ଗଣିତ, $L$ ର $K$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ଅନୁଲଗ୍ନ ଅଟେ, ତବେେ $L$ ଏକ ଉପାଦାନ $ଏକ$ ହୋଇଥାଏ $କେ$ ଉପେର ଏକ algebraic ଉପାଦାନ, କିମ୍ବା $କେ$ ଉପରେ କେବଳ algebraic, $କେ$ ଯେ ଏପରି କିଛି ଅଣ-ଶୂନ polynomial coefficients ସହିତ $g (x)$ ସେଠାରେ ରହିଛନ୍ତି ଯଦି ନାମକ $g (a) = 0$ ଉପାଦାନ $L$ ର ଅଛି ଯାହା ନାହିଁ $K$ ଉପରେ algebraic $K$ ଉପରେ transcendental କୁହାଯାଏ।
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଣନା ହେଉଛି ଏକ ଗଣନା କ୍ଷେତ୍ର ଯାହାକି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକାରର ଆକଳନ କରିବା ପରିବର୍ତ୍ତେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକାରର ମିଳିତ ବସ୍ତୁର ସଂଖ୍ୟା ପାଇଁ ସଠିକ୍ ସୂତ୍ର ଖୋଜିବା ସହିତ କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥାଏ \| ଏହି ସୂତ୍ରଗୁଡିକ ଖୋଜିବାର ପଦ୍ଧତିଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଫଙ୍କସନ୍ ଉତ୍ପାଦନ ଏବଂ ପୁନରାବୃତ୍ତି ସମ୍ପର୍କର ସମାଧାନ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ ବା ବହୁଜନିକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଫର୍ମର ଏକ ସମୀକରଣ \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ ବା ବହୁଜନିକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଫର୍ମର ଏକ ସମୀକରଣ \| $\text{[math]}$
ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ, ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା, ଏକ ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ ହେଉଛି ଏହି ଚକ୍ରଗୁଡିକର ଏକ ଉତ୍ତମ କାର୍ଯ୍ୟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ପାଇବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ସୁଗମ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ କିସମର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଚକ୍ର ଉପରେ ଏକ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ, ଏବଂ ବିଶେଷ ଭାବରେ, ସୁ-ପରିଭାଷିତ ଛକ ଉତ୍ପାଦ \| ପିଆର ସାମୁଏଲ୍ 1958 ରେ ଏକ ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କର ଧାରଣାକୁ ଆନୁଷ୍ଠାନିକ କରିଥିଲେ \| ସେହି ଦିନଠାରୁ ଏହା ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ତତ୍ତ୍ central ର କେନ୍ଦ୍ର ପାଲଟିଛି \| ପ୍ରତ୍ୟେକ ପର୍ଯ୍ୟାପ୍ତ ସମାନତା ସମ୍ପର୍କ ପାଇଁ, ସେହି ସମ୍ପର୍କକୁ ନେଇ ଶୁଦ୍ଧ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟର ବର୍ଗକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନାକାରୀ: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଇରେଜର ( AE ) ହେଉଛି ଏକ ଅଜ୍ଞାତ କି ଚୁକ୍ତିନାମା ପ୍ରୋଟୋକଲ୍ ଯାହା ଦୁଇ ପକ୍ଷଙ୍କୁ, ପ୍ରତ୍ୟେକଙ୍କର AE ସାର୍ବଜନୀନ - ବ୍ୟକ୍ତିଗତ ଚାବି ଯୋଡି, ଏକ ଅସୁରକ୍ଷିତ ଚ୍ୟାନେଲ ଉପରେ ଏକ ଅଂଶୀଦାର ରହସ୍ୟ ପ୍ରତିଷ୍ଠା କରିବାକୁ ଅନୁମତି ଦେଇଥାଏ \| ଏହି ଅଂଶୀଦାରୀ ରହସ୍ୟ ସିଧାସଳଖ ଏକ ଚାବି ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରେ, କିମ୍ବା ଅନ୍ୟ ଏକ ଚାବି ପାଇବା ପାଇଁ ଯାହା ପରେ ଏକ ସମୃଦ୍ଧ କି ସାଇଫର୍ ବ୍ୟବହାର କରି ପରବର୍ତ୍ତୀ ଯୋଗାଯୋଗକୁ ଏନକ୍ରିପ୍ଟ କରିବାରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇପାରେ \| ଆଇରିସ୍ ଆନ୍ସେଲ୍, ମାଇକେଲ୍ ଆନ୍ସେଲ୍, ଡୋରିଆନ୍ ଗୋଲ୍ଡଫେଲ୍ଡ ଏବଂ ଷ୍ଟିଫେନ୍ ଲେମିଅକ୍ସ ଦ୍ୱାରା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଇରେଜର ବିକଶିତ ହୋଇଥିଲା \| SecureRF ପ୍ରୋଟୋକଲକୁ ଆଚ୍ଛାଦନ କରୁଥିବା ପେଟେଣ୍ଟଗୁଡିକର ମାଲିକ ଏବଂ ISO / IEC 29167-20 ର ଅଂଶ ଭାବରେ ପ୍ରୋଟୋକଲକୁ ମାନକ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କଲା, ରେଡିଓ-ଫ୍ରିକ୍ୱେନ୍ସି ଚିହ୍ନଟ ଉପକରଣ ଏବଂ ବେତାର ସେନସର ନେଟୱାର୍କକୁ ସୁରକ୍ଷିତ କରିବା ପାଇଁ ଏକ ମାନକ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ହେଉଛି ଇଣ୍ଟିଜର୍ କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ, ଭେରିଏବଲ୍ ଏବଂ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଅପରେସନ୍ସରୁ ନିର୍ମିତ ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $3 x 2 - 2 xy + c$ ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ଯେହେତୁ ବର୍ଗାକାର ମୂଳ ନେଉଛି ସମାନ ଶକ୍ତି 1/2 କୁ ମନୋନୟନ, ପ୍ରତିଭାର ସ୍ୱୀକୃତି ପରି ଅଟେ, $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିସ୍ତାର: ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାରେ, ଏକ ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ L / K କୁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କୁହାଯାଏ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ , ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ରେ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କିଛି ଶୂନ୍ୟ ନଥିବା ବହୁଭୂତିର ମୂଳ ଅଟେ \| ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ଯାହା ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ ଉପାଦାନ ଧାରଣ କରେ, ଏହାକୁ ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ କୁହାଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିସ୍ତାର: ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାରେ, ଏକ ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ L / K କୁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କୁହାଯାଏ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ , ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ରେ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କିଛି ଶୂନ୍ୟ ନଥିବା ବହୁଭୂତିର ମୂଳ ଅଟେ \| ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ଯାହା ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ ଉପାଦାନ ଧାରଣ କରେ, ଏହାକୁ ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ କୁହାଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିସ୍ତାର: ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାରେ, ଏକ ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ L / K କୁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କୁହାଯାଏ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ , ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ରେ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କିଛି ଶୂନ୍ୟ ନଥିବା ବହୁଭୂତିର ମୂଳ ଅଟେ \| ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ଯାହା ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ ଉପାଦାନ ଧାରଣ କରେ, ଏହାକୁ ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ କୁହାଯାଏ \|
ଚୁକ୍ତିନାମା ମୋର୍ଫିଜିମ୍: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ , ଏକ ସଂକୋଚନ ମର୍ଫିଜିମ୍ ହେଉଛି ଏକ ସର୍ଜେକ୍ଟିଭ୍ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ମର୍ଫିଜିମ୍ \| $\text{[math]}$ ସାଧାରଣ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ କିସମଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରେ ଯେପରି \| $\text{[math]}$ କିମ୍ବା, ସମାନ ଭାବରେ, ଜ୍ୟାମିତିକ ତନ୍ତୁ ସବୁ ସଂଯୁକ୍ତ \| ଏହାକୁ ସାଧାରଣତ a ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଫାଇବର ସ୍ପେସ୍ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ, ଯେହେତୁ ଏହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଟପୋଲୋଜିରେ ଏକ ଫାଇବର ସ୍ପେସ୍ ର ଏକ ଆନାଗଲ୍ \|
କ୍ଷେତ୍ର (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ହେଉଛି ଏକ ସେଟ୍ ଯେଉଁଥିରେ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ଏବଂ ବିଭାଜନକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥାଏ ଏବଂ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ଏବଂ ପ୍ରକୃତ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ଅନୁରୂପ କାର୍ଯ୍ୟ ପରି ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ \| ଏହିପରି ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ହେଉଛି ଏକ ମ fundamental ଳିକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ structure ାଞ୍ଚା ଯାହା ବୀଜ ବିବେଚନା, ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଏବଂ ଗଣିତର ଅନ୍ୟାନ୍ୟ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବହୁଳ ଭାବରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିସ୍ତାର: ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାରେ, ଏକ ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ L / K କୁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କୁହାଯାଏ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ , ଅର୍ଥାତ୍ ଯଦି L ର ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପାଦାନ K ରେ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କିଛି ଶୂନ୍ୟ ନଥିବା ବହୁଭୂତିର ମୂଳ ଅଟେ \| ଫିଲ୍ଡ ଏକ୍ସଟେନ୍ସନ୍ ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନୁହେଁ, ଅର୍ଥାତ୍ ଯାହା ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ ଉପାଦାନ ଧାରଣ କରେ, ଏହାକୁ ଟ୍ରାନ୍ସେଣ୍ଡେଣ୍ଟାଲ୍ କୁହାଯାଏ \|
ସମଲିଙ୍ଗୀ ବହୁଭୂତ: ଗଣିତ, ଏକ homogeneous polynomial, ବେଳେବେଳେ କୁହାଯାଏ ପୁରୁଣା ଲେଖାମାନ ରେ quantic, ଏକ polynomial ଯାହାର nonzero ସର୍ତ୍ତାବଳୀ ସମସ୍ତ ସମାନ ଡିଗ୍ରୀ ଅଛି ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$ ଦୁଇଟି ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଡିଗ୍ରୀ 5 ର ଏକ ସମାନ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଅଟେ \| ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶବ୍ଦରେ ପ୍ରଦର୍ଶକଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 5. ବହୁଭୂତ \| $\text{[math]}$ ଏକମାତ୍ର ନୁହେଁ, କାରଣ ପ୍ରଦର୍ଶକଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ଶବ୍ଦରୁ ଶବ୍ଦ ସହିତ ମେଳ ଖାଉ ନାହିଁ \| ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏକମାତ୍ର ଏବଂ ଯଦି ଏହା ଏକ ସମାନ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରେ \|	ଗଣିତ, ଏକ homogeneous polynomial, ବେଳେବେଳେ କୁହାଯାଏ ପୁରୁଣା ଲେଖାମାନ ରେ quantic, ଏକ polynomial ଯାହାର nonzero ସର୍ତ୍ତାବଳୀ ସମସ୍ତ ସମାନ ଡିଗ୍ରୀ ଅଛି ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$
ସମଲିଙ୍ଗୀ ବହୁଭୂତ: ଗଣିତ, ଏକ homogeneous polynomial, ବେଳେବେଳେ କୁହାଯାଏ ପୁରୁଣା ଲେଖାମାନ ରେ quantic, ଏକ polynomial ଯାହାର nonzero ସର୍ତ୍ତାବଳୀ ସମସ୍ତ ସମାନ ଡିଗ୍ରୀ ଅଛି ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$ ଦୁଇଟି ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଡିଗ୍ରୀ 5 ର ଏକ ସମାନ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଅଟେ \| ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶବ୍ଦରେ ପ୍ରଦର୍ଶକଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ସର୍ବଦା 5. ବହୁଭୂତ \| $\text{[math]}$ ଏକମାତ୍ର ନୁହେଁ, କାରଣ ପ୍ରଦର୍ଶକଙ୍କ ସମଷ୍ଟି ଶବ୍ଦରୁ ଶବ୍ଦ ସହିତ ମେଳ ଖାଉ ନାହିଁ \| ଏକ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏକମାତ୍ର ଏବଂ ଯଦି ଏହା ଏକ ସମାନ କାର୍ଯ୍ୟକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରେ \|	ଗଣିତ, ଏକ homogeneous polynomial, ବେଳେବେଳେ କୁହାଯାଏ ପୁରୁଣା ଲେଖାମାନ ରେ quantic, ଏକ polynomial ଯାହାର nonzero ସର୍ତ୍ତାବଳୀ ସମସ୍ତ ସମାନ ଡିଗ୍ରୀ ଅଛି ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ହେଉଛି ଇଣ୍ଟିଜର୍ କନଷ୍ଟାଣ୍ଟ, ଭେରିଏବଲ୍ ଏବଂ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଅପରେସନ୍ସରୁ ନିର୍ମିତ ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, $3 x 2 - 2 xy + c$ ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ଯେହେତୁ ବର୍ଗାକାର ମୂଳ ନେଉଛି ସମାନ ଶକ୍ତି 1/2 କୁ ମନୋନୟନ, ପ୍ରତିଭାର ସ୍ୱୀକୃତି ପରି ଅଟେ, $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶ ହେଉଛି ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଯାହାର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ନାମ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶର ଦୁଇଟି ଉଦାହରଣ ହେଉଛି \| $\text{[math]}$ ଏବଂ $\text{[math]}$ । ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶଗୁଡିକ ଗଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶ ସହିତ ସମାନ ନିୟମ ଅଧୀନ \|	ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶ ହେଉଛି ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଯାହାର ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ନାମ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭଗ୍ନାଂଶର ଦୁଇଟି ଉଦାହରଣ ହେଉଛି \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ ହେଉଛି ଏକ କାର୍ଯ୍ୟ ଯାହା ବହୁଭାଷୀ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \| ପ୍ରାୟତ al ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଏକ ସୀମିତ ସଂଖ୍ୟକ ଶବ୍ଦ ବ୍ୟବହାର କରି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, କେବଳ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅପରେସନ୍ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ ଏବଂ ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଶକ୍ତି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବୃଦ୍ଧି ସହିତ ଜଡିତ \| ଏହିପରି କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ: ଗଣିତ, କ୍ଷେତ୍ର ଙ୍କ ଉପରେ n ଚଳ ଏକ algebraic ଫଳନ କ୍ଷେତ୍ର ଏକ finitely ଆୟୋଜିତ କ୍ଷେତ୍ର ବିସ୍ତୃତକରଣ K / K ଯାହା ଙ୍କ ଉପରେ n transcendence ଡିଗ୍ରୀ ରହିଛି ହେଉଛି। Equivalently, n ଙ୍କ ଉପରେ variables ର ଏକ algebraic ଫଳନ କ୍ଷେତ୍ର ଙ୍କ ଉପରେ ଚଳ n ରେ ବିଚାରକ୍ଷମ ଫଳନଗୁଡ଼ିକର ର କ୍ଷେତ୍ର K କ୍ଷେତ୍ର ଏକ ସୀମିତ ବିସ୍ତୃତକରଣ = k (x _1, ..., x _n) ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା ପାରେ।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟ ହେଉଛି ଏକ କାର୍ଯ୍ୟ ଯାହା ବହୁଭାଷୀ ସମୀକରଣର ମୂଳ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \| ପ୍ରାୟତ al ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଏକ ସୀମିତ ସଂଖ୍ୟକ ଶବ୍ଦ ବ୍ୟବହାର କରି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, କେବଳ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅପରେସନ୍ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ ଏବଂ ଏକ ଭଗ୍ନାଂଶ ଶକ୍ତି ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବୃଦ୍ଧି ସହିତ ଜଡିତ \| ଏହିପରି କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଉଦାହରଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
ମ fundamental ଳିକ ଗୋଷ୍ଠୀ: ଟୋଟୋଲୋଜିକାଲ୍ ସ୍ପେସ୍ ର ସାଧାରଣ ମ fundamental ଳିକ ଗୋଷ୍ଠୀର ଯୋଜନାଗୁଡିକ ପାଇଁ, ଇଟେଲ୍ ବା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମ fundamental ଳିକ ଗୋଷ୍ଠୀ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ଅନୁରୂପ \|
ଗୋପା କୋଡ୍: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିକ କୋଡ୍ ( AG- କୋଡ୍ ), ଅନ୍ୟଥା ଗୋପ୍ପା କୋଡ୍ ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା, ଏକ ସାଧାରଣ ପ୍ରକାରର ର line ଖ୍ୟ କୋଡ୍ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବକ୍ର ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ମିତ \| $\text{[math]}$ ଏକ ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ର ଉପରେ \| $\text{[math]}$ । ଭାଲେରୀ ଡେନିସୋଭିଚ୍ ଗୋପ୍ପାଙ୍କ ଦ୍ Such ାରା ଏହିପରି ସଂକେତଗୁଡିକ ପ୍ରବର୍ତ୍ତିତ ହୋଇଥିଲା \| ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ସେମାନଙ୍କର ଆକର୍ଷଣୀୟ ଚରମ ଗୁଣ ରହିପାରେ \| ସେଗୁଡିକ ବାଇନାରୀ ଗୋପ୍ପା କୋଡ୍ ସହିତ ଦ୍ୱନ୍ଦ୍ୱରେ ରହିବା ଉଚିତ୍ ନୁହେଁ, ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ମ୍ୟାକ୍ଲିଏସ୍ କ୍ରିପ୍ଟୋସିଷ୍ଟମରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି ହେଉଛି ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା, ମଲ୍ଟିଭାରିଏଟ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍ସର ଶୂନ୍ୟ ଭାବରେ ଅଧ୍ୟୟନ କରେ \| ଏହି ଶୂନଗୁଡ଼ିକର ସେଟ୍ ବିଷୟରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ସମସ୍ୟାର ସମାଧାନ ପାଇଁ ଆଧୁନିକ ବୀଜ ବ ge ଜ୍ଞାନିକ ଜ୍ୟାମିତି ଅବଷ୍ଟ୍ରାକ୍ଟ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କ ques ଶଳର ବ୍ୟବହାର ଉପରେ ଆଧାରିତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି ଏବଂ ଆନାଲିଟିକ୍ ଜ୍ୟାମିତି: ଗଣିତରେ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି ଏବଂ ଆନାଲିଟିକ୍ ଜ୍ୟାମିତି ଦୁଇଟି ଘନିଷ୍ଠ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ବିଷୟ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କିସମଗୁଡିକ ଅଧ୍ୟୟନ କରୁଥିବାବେଳେ, ଆନାଲିଟିକ୍ ଜ୍ୟାମିତି ଜଟିଳ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ଏବଂ ଅଧିକ ସାଧାରଣ ଆନାଲିଟିକ୍ ସ୍ପେସ୍ ସହିତ ବିଭିନ୍ନ ଜଟିଳ ଭେରିଏବଲର ଆନାଲିଟିକ୍ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକର ଅଦୃଶ୍ୟତା ଦ୍ୱାରା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥାଏ \| ଏହି ବିଷୟଗୁଡିକ ମଧ୍ୟରେ ଗଭୀର ସମ୍ପର୍କର ଅନେକ ପ୍ରୟୋଗ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କ techni ଶଳଗୁଡିକ ଆନାଲିଟିକ୍ ସ୍ପେସ୍ ଏବଂ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ କିସମ ପାଇଁ ଆନାଲିଟିକ୍ କ ques ଶଳ ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ \|
ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତି: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଜ୍ୟାମିତୀରେ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ଏକ ପ୍ରମୁଖ ଭୂମିକା ଗ୍ରହଣ କରିଥାଏ \| ଏହି ଆର୍ଟିକିଲର ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟ ହେଉଛି ଅବଷ୍ଟ୍ରାକ୍ଟ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଜ୍ୟାମିତିର ଧାରଣାକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରିବା ଏବଂ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ର କିଛି ମ basic ଳିକ ବ୍ୟବହାର ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗ୍ରାଫ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗ୍ରାଫ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ହେଉଛି ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା ଯେଉଁଥିରେ ଗ୍ରାଫ୍ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ସମସ୍ୟାଗୁଡ଼ିକରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପଦ୍ଧତି ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ \| ଏହା ଜ୍ୟାମିତିକ, କମ୍ବିନେଟେରିକ୍, କିମ୍ବା ଆଲଗୋରିଦମିକ୍ ଆଭିମୁଖ୍ୟର ବିପରୀତ ଅଟେ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗ୍ରାଫ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ତିନୋଟି ମୁଖ୍ୟ ଶାଖା ଅଛି, ଯେଉଁଥିରେ ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବିବେଚନା, ଗୋଷ୍ଠୀ ତତ୍ତ୍ use ର ବ୍ୟବହାର ଏବଂ ଗ୍ରାଫ୍ ଇନଭାରିଅଣ୍ଟସ୍ ଅଧ୍ୟୟନ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ ହେଉଛି ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଯାହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଅଟେ, ଯେପରି କି ଗୁଣନ ଏବଂ ବିପରୀତ କାର୍ଯ୍ୟ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ନିୟମିତ ମାନଚିତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ ହେଉଛି ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଯାହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଅଟେ, ଯେପରି କି ଗୁଣନ ଏବଂ ବିପରୀତ କାର୍ଯ୍ୟ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ନିୟମିତ ମାନଚିତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ହୋଲୋଗ୍ରାଫି: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ହୋଲୋଗ୍ରାଫି , ଯାହାକୁ ବେଳେବେଳେ ରେହରେନ୍ ଦ୍ୱିପାକ୍ଷିକ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ, କାର୍ଲ-ହେନିଙ୍ଗ ରେହରେନଙ୍କ କାରଣରୁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଫିଲ୍ଡ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର framework ାଞ୍ଚାରେ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ମାଧ୍ୟାକର୍ଷଣର ହୋଲୋଗ୍ରାଫିକ୍ ନୀତି ବୁ to ିବାକୁ ଏକ ପ୍ରୟାସ \| ଏହା ବେଳେବେଳେ ଷ୍ଟ୍ରିଙ୍ଗ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର AdS / CFT ସମ୍ବାଦପତ୍ରର ଏକ ବିକଳ୍ପ ସୂତ୍ର ଭାବରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥାଏ, କିନ୍ତୁ କିଛି ଷ୍ଟ୍ରିଙ୍ଗ୍ ଥିଓରିଷ୍ଟମାନେ ଏହି ବିବୃତ୍ତିକୁ ପ୍ରତ୍ୟାଖ୍ୟାନ କରନ୍ତି \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ହୋଲୋଗ୍ରାଫିରେ ଆଲୋଚନା ହୋଇଥିବା ତତ୍ତ୍ the ଗୁଡିକ ସାଧାରଣ ହୋଲୋଗ୍ରାଫିକ୍ ନୀତି ପୂରଣ କରେ ନାହିଁ କାରଣ ସେମାନଙ୍କର ଏଣ୍ଟ୍ରପି ଏକ ଉଚ୍ଚ-ଆକାରର ଶକ୍ତି ନିୟମ ଅନୁସରଣ କରେ \|
ମର୍ଡେଲିକ୍ ବିବିଧତା: ଗଣିତରେ, ଏକ ମର୍ଡେଲିକ୍ ବିବିଧତା ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିବିଧତା ଯାହାକି କ fin ଣସି ସୀମିତ ଉତ୍ପାଦିତ କ୍ଷେତ୍ରରେ କେବଳ ଅନେକ ପଏଣ୍ଟ ଅଛି \| ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଜ୍ୟାମିତିକୁ ସେମାନଙ୍କର ଡାୟୋଫାଣ୍ଟାଇନ୍ ଗୁଣ ସହିତ ଯୋଡିଥିବା ବିଭିନ୍ନ ଧାରଣା ବିଷୟରେ ଜାଣିବା ପାଇଁ ସରୋଜ ଲାଙ୍ଗଙ୍କ ଦ୍ The ାରା ଏହି ଶବ୍ଦ ପ୍ରବର୍ତ୍ତିତ ହୋଇଥିଲା \|
ଆଦର୍ଶ (ରିଙ୍ଗ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ): ରିଙ୍ଗ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ବିସ୍ତୃତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣର ଏକ ଶାଖା, ଏକ ରିଙ୍ଗର ଏକ ଆଦର୍ଶ ହେଉଛି ଏହାର ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକର ଏକ ବିଶେଷ ଉପସେଟ୍ \| ଆଦର୍ଶଗୁଡ଼ିକ ଇଣ୍ଟିଜର୍ସର କିଛି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସବ୍ସେଟ୍କୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ, ଯେପରିକି ସମାନ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା 3 ର ଗୁଣନ ଏହି ବନ୍ଦ ଏବଂ ଅବଶୋଷଣ ଗୁଣଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ଏକ ଆଦର୍ଶର ବ୍ୟାଖ୍ୟାକାରୀ ଗୁଣ \| ଏକ ଆଦର୍ଶରେ ଏକ କ୍ୱିଣ୍ଟେଣ୍ଟ୍ ରିଙ୍ଗ୍ ନିର୍ମାଣ ପାଇଁ ଏକ ଆଦର୍ଶ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରିବ, ଗୋଷ୍ଠୀ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ସାଧାରଣ ସବ୍ ଗ୍ରୁପ୍ କିପରି ଏକ କ୍ୱିଣ୍ଟେଣ୍ଟ୍ ଗ୍ରୁପ୍ ଗଠନ ପାଇଁ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରିବ \|
ପରିଚୟ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ପରିଚୟ ହେଉଛି ଗୋଟିଏ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି A ସହିତ ଅନ୍ୟ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି B ସହିତ ଜଡିତ ଏକ ସମାନତା, ଯେପରି A ଏବଂ B ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ valid ଧତା ମଧ୍ୟରେ ଭେରିଏବଲ୍ ର ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ସମାନ ମୂଲ୍ୟ ଉତ୍ପାଦନ କରେ \| ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ, A = B ହେଉଛି ଏକ ପରିଚୟ ଯଦି A ଏବଂ B ସମାନ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରେ, ଏବଂ ଏକ ପରିଚୟ ହେଉଛି କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ସମାନତା ଯାହା ଭିନ୍ନ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥାଏ \| ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$ ଏବଂ $\text{[math]}$ ପରିଚୟ ଅଟେ \| ପରିଚୟ ବେଳେବେଳେ ପରିବର୍ତ୍ତେ $=$ ର Triple ଦଣ୍ଡିକା ପ୍ରତୀକ $\equiv$ ଦ୍ୱାରା indicated ହୋଇଥାଏ, ଚିହ୍ନ ସମାନ।
ପରିଚୟ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ପରିଚୟ ହେଉଛି ଗୋଟିଏ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି A ସହିତ ଅନ୍ୟ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି B ସହିତ ଜଡିତ ଏକ ସମାନତା, ଯେପରି A ଏବଂ B ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବ valid ଧତା ମଧ୍ୟରେ ଭେରିଏବଲ୍ ର ସମସ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ସମାନ ମୂଲ୍ୟ ଉତ୍ପାଦନ କରେ \| ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ, A = B ହେଉଛି ଏକ ପରିଚୟ ଯଦି A ଏବଂ B ସମାନ କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରେ, ଏବଂ ଏକ ପରିଚୟ ହେଉଛି କାର୍ଯ୍ୟଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ସମାନତା ଯାହା ଭିନ୍ନ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥାଏ \| ଉଦାହରଣ ସ୍ଵରୁପ, $\text{[math]}$ ଏବଂ $\text{[math]}$ ପରିଚୟ ଅଟେ \| ପରିଚୟ ବେଳେବେଳେ ପରିବର୍ତ୍ତେ $=$ ର Triple ଦଣ୍ଡିକା ପ୍ରତୀକ $\equiv$ ଦ୍ୱାରା indicated ହୋଇଥାଏ, ଚିହ୍ନ ସମାନ।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ independence ାଧୀନତା: ବିସ୍ତୃତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ସବ୍ସେଟ୍ \| $\text{[math]}$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ରର $\text{[math]}$ ଏକ ସବଫିଲ୍ଡ ଉପରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭାବରେ ସ୍ independent ାଧୀନ ଅଟେ \| $\text{[math]}$ ଯଦି ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ $\text{[math]}$ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ କ any ଣସି ଅଣ-ତୃଟିପୂର୍ଣ୍ଣ ବହୁଜନିକ ସମୀକରଣକୁ ସନ୍ତୁଷ୍ଟ କରନ୍ତୁ ନାହିଁ \| $\text{[math]}$ ।	ବିସ୍ତୃତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ସବ୍ସେଟ୍ \| $\text{[math]}$
ଅସମାନତା (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ଅସମାନତା ହେଉଛି ଏକ ସମ୍ପର୍କ ଯାହା ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଅନ୍ୟାନ୍ୟ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ମଧ୍ୟରେ ସମାନ ନୁହେଁ \| ସଂଖ୍ୟା ଆକାରରେ ଦୁଇଟି ସଂଖ୍ୟାକୁ ସେମାନଙ୍କ ଆକାର ଅନୁଯାୟୀ ତୁଳନା କରିବା ପାଇଁ ଏହା ପ୍ରାୟତ। ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ଅସମାନତାକୁ ପ୍ରତିପାଦିତ କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ସୂଚନା ଅଛି: ଚିହ୍ନ ଏକ <ଅର୍ଥ b ଏକ b କମ୍ ଅଟେ। ଚିହ୍ନ ଏକ> ଅର୍ଥ b ଯେ ଏକ b ମହାନ୍।
ସୂଚନା ବୀଜ ବିବେଚନା: ଶବ୍ଦ " ସୂଚନା ବୀଜ୍ " ସୂଚନା ପ୍ରକ୍ରିୟାକରଣର ଗାଣିତିକ କ ques ଶଳକୁ ବୁ .ାଏ \| ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ସୂଚନା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ କ୍ଲୋଡ୍ ଶାନନ୍ କୁ ଫେରିଯାଏ \| ଯୋଗାଯୋଗ ଏବଂ ସଂରକ୍ଷଣକୁ ଦେଖି ଏହା ସୂଚନା ପ୍ରସାରଣର ଏକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ \| ତଥାପି, ଏହା ଏପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବିଚାର କରାଯାଇ ନାହିଁ ଯେ ସୂଚନା ବିଭିନ୍ନ ଉତ୍ସରୁ ଆସିଥାଏ ଏବଂ ଏହା ସାଧାରଣତ combined ମିଳିତ ହୋଇଥାଏ \| ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ସୂଚନା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ଏହା ଅବହେଳିତ ହୋଇଛି ଯେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ସୂଚନାର ଏକ ଅଂଶରୁ ସେହି ଅଂଶଗୁଡ଼ିକୁ ବାହାର କରିବାକୁ ଚାହୁଁଛନ୍ତି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଏକ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା $co$ ରେ $କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍$ ସହିତ କିଛି ମୋନିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ର ମୂଳ ଅଟେ \| ସମସ୍ତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍, $A$ , ଯୋଗ, ବିଛିନ୍ନତା ଏବଂ ଗୁଣନ ଅଧୀନରେ ବନ୍ଦ ହୋଇଯାଏ ଏବଂ ସେଥିପାଇଁ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକ କ୍ରମାଗତ ସବ୍ରିଙ୍ଗ୍ \| ମୁଦି $ଏକ$ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ରେ ର ନିୟମିତ ଗଣନ $ℤ$ integral ନିବଦ୍ଧ ଅଛି।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଏକ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା $co$ ରେ $କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍$ ସହିତ କିଛି ମୋନିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ର ମୂଳ ଅଟେ \| ସମସ୍ତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟାର ସେଟ୍, $A$ , ଯୋଗ, ବିଛିନ୍ନତା ଏବଂ ଗୁଣନ ଅଧୀନରେ ବନ୍ଦ ହୋଇଯାଏ ଏବଂ ସେଥିପାଇଁ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟାଗୁଡ଼ିକର ଏକ କ୍ରମାଗତ ସବ୍ରିଙ୍ଗ୍ \| ମୁଦି $ଏକ$ ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ରେ ର ନିୟମିତ ଗଣନ $ℤ$ integral ନିବଦ୍ଧ ଅଛି।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭିତର: କାର୍ଯ୍ୟକାରିତା ବିଶ୍ଳେଷଣରେ, ଗଣିତର ଏକ ଶାଖା, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭିତର ବା ଭେକ୍ଟର ସ୍ପେସ୍ ର ଉପସେଟର ରେଡିଆଲ୍ କର୍ଣ୍ଣଲ ହେଉଛି ଭିତରର ଧାରଣାର ପରିଶୋଧନ \| ଏହା ଏକ ପ୍ରଦତ୍ତ ସେଟ୍ ରେ ଥିବା ପଏଣ୍ଟଗୁଡିକର ସବ୍ସେଟ୍ ଅଟେ ଯାହା ସହିତ ଏହା ଶୋଷୁଛି, ଅର୍ଥାତ୍ ସେଟ୍ ର ରେଡିଆଲ୍ ପଏଣ୍ଟ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭିତରର ଉପାଦାନଗୁଡିକ ପ୍ରାୟତ internal ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ବିନ୍ଦୁ ଭାବରେ କୁହାଯାଏ \|
ଅଦୃଶ୍ୟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଇନଭିଆରାଣ୍ଟ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ହେଉଛି ଅବଜେକ୍ଟ ଆଲଜେବ୍ରାର ଏକ ଶାଖା ଯାହାକି କାର୍ଯ୍ୟ ଉପରେ ସେମାନଙ୍କର ପ୍ରଭାବ ଦୃଷ୍ଟିକୋଣରୁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କିସମ ଉପରେ ଗୋଷ୍ଠୀର କାର୍ଯ୍ୟ ସହିତ କାର୍ଯ୍ୟ କରିଥାଏ \| Classically, ତତ୍ତ୍ୱ polynomial ଫଳନ ନାହିଁ invariant ଅଟେ ପରିବର୍ତ୍ତନ କରିବା, କିମ୍ବା ର ସୁସ୍ପଷ୍ଟ ବର୍ଣ୍ଣନାର ପ୍ରଶ୍ନ ସହିତ ଏକ ପ୍ରଦତ୍ତ ରୈଖିକ ଶ୍ରେଣୀରୁ ଡେସ୍କଟପ୍ ତଳେ, ବ୍ଯବହାର। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଯଦି ଆମେ ବାମ ଗୁଣନ ଦ୍ୱାରା n ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ ଦ୍ୱାରା n ର ସ୍ପେସ୍ ଉପରେ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ର line ଖ୍ୟ ଗୋଷ୍ଠୀ SL _n ର କାର୍ଯ୍ୟକୁ ବିଚାର କରୁ, ତେବେ ନିର୍ଣ୍ଣୟକାରୀ ଏହି କାର୍ଯ୍ୟର ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ କାରଣ AX ର ନିର୍ଣ୍ଣୟକାରୀ X ର ନିର୍ଣ୍ଣୟକାରୀ ସହିତ ସମାନ, ଯେତେବେଳେ A ଥାଏ \| SL _{n ରେ}
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କେ-ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଜ୍ୟାମିତି, ଟପୋଲୋଜି, ରିଙ୍ଗ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଏବଂ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ସହିତ ସଂଯୋଗ ସହିତ ଗଣିତରେ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କେ- ଥିଓରି ହେଉଛି ଏକ ବିଷୟ କ୍ଷେତ୍ର \| ଜ୍ୟାମିତିକ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଏବଂ ଗାଣିତିକ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକ କେ- ଗ୍ରୁପ୍ ନାମକ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକୁ ନ୍ୟସ୍ତ କରାଯାଇଛି \| ଅବଷ୍ଟ୍ରାକ୍ଟ ବୀଜ ବିବେଚନା ଅର୍ଥରେ ଏଗୁଡ଼ିକ ଗୋଷ୍ଠୀ \| ସେମାନେ ମୂଳ ବସ୍ତୁ ବିଷୟରେ ବିସ୍ତୃତ ସୂଚନା ଧାରଣ କରନ୍ତି କିନ୍ତୁ ଗଣନା କରିବା କୁଖ୍ୟାତ ଅଟେ; ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଏକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ଉଲ୍ଲେଖନୀୟ ସମସ୍ୟା ହେଉଛି ଇଣ୍ଟିଜର୍ସର K- ଗ୍ରୁପ୍ ଗଣନା କରିବା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣ୍ଠି ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଲିଙ୍କ୍ ହେଉଛି ଏକ ଲିଙ୍କ୍ ଯାହା କନୱେ କ୍ଷେତ୍ର ଦ୍ 2 ାରା 2-ଟାଙ୍ଗଲରେ କ୍ଷୟ ହୋଇପାରେ \| Algebraic ଲିଙ୍କ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ algebraic ଲିଙ୍କ ଏବଂ algebraic tangles .ଯଦିଚ arborescent ଲିଙ୍କ ମୂଳତଃ ଯୋହନ H. Conway ଦ୍ୱାରା ଖୋଲା ପ୍ରାନ୍ତ କରିଥାଏ ଅନୁଭବ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଗଲା କରୁଛନ୍ତି, ସେମାନେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଧିକ ଯୁଗଳ କୁ generalized କରାଗଲା।
କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ: କ୍ରମ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆଂଶିକ ଅର୍ଡର ହୋଇଥିବା ସେଟ୍ ର କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ କିମ୍ବା ସୀମିତ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସେହି ଉପାଦାନଗୁଡିକ ଯାହା କ any ଣସି ଖାଲି ନଥିବା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ସେଟ୍ ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଦ୍ୱାରା ସବସିଡ୍ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯାହା ପୂର୍ବରୁ କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ ଉପରେ ସଦସ୍ୟ ଧାରଣ କରିନଥାଏ \| କମ୍ପାକ୍ଟେନ୍ସିର ଏହି ଧାରଣା ଏକକାଳୀନ ସେଟ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଟପୋଲୋଜିରେ କମ୍ପାକ୍ଟ ସେଟ୍ ଏବଂ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ ସୀମିତ ଭାବରେ ନିର୍ମିତ ମଡ୍ୟୁଲ୍ ଧାରଣାକୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ: କ୍ରମ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆଂଶିକ ଅର୍ଡର ହୋଇଥିବା ସେଟ୍ ର କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ କିମ୍ବା ସୀମିତ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସେହି ଉପାଦାନଗୁଡିକ ଯାହା କ any ଣସି ଖାଲି ନଥିବା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ସେଟ୍ ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଦ୍ୱାରା ସବସିଡ୍ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯାହା ପୂର୍ବରୁ କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ ଉପରେ ସଦସ୍ୟ ଧାରଣ କରିନଥାଏ \| କମ୍ପାକ୍ଟେନ୍ସିର ଏହି ଧାରଣା ଏକକାଳୀନ ସେଟ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଟପୋଲୋଜିରେ କମ୍ପାକ୍ଟ ସେଟ୍ ଏବଂ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ ସୀମିତ ଭାବରେ ନିର୍ମିତ ମଡ୍ୟୁଲ୍ ଧାରଣାକୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
ଏକ କାର୍ଯ୍ୟର ସୀମା: ଗଣିତରେ, ଏକ କାର୍ଯ୍ୟର ସୀମା ହେଉଛି ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଇନପୁଟ୍ ନିକଟରେ ସେହି କାର୍ଯ୍ୟର ଆଚରଣ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ଗଣନା ଏବଂ ବିଶ୍ଳେଷଣରେ ଏକ ମ fundamental ଳିକ ଧାରଣା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣ୍ଠି ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଲିଙ୍କ୍ ହେଉଛି ଏକ ଲିଙ୍କ୍ ଯାହା କନୱେ କ୍ଷେତ୍ର ଦ୍ 2 ାରା 2-ଟାଙ୍ଗଲରେ କ୍ଷୟ ହୋଇପାରେ \| Algebraic ଲିଙ୍କ ମଧ୍ୟ କୁହାଯାଏ algebraic ଲିଙ୍କ ଏବଂ algebraic tangles .ଯଦିଚ arborescent ଲିଙ୍କ ମୂଳତଃ ଯୋହନ H. Conway ଦ୍ୱାରା ଖୋଲା ପ୍ରାନ୍ତ କରିଥାଏ ଅନୁଭବ ଭାବରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଗଲା କରୁଛନ୍ତି, ସେମାନେ ପରବର୍ତ୍ତୀ ଅଧିକ ଯୁଗଳ କୁ generalized କରାଗଲା।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ତର୍କ: ଗାଣିତିକ ତର୍କ ରେ, algebraic ତର୍କ ସହିତ ମାଗଣା ପ୍ରାଚଳଗୁଡ଼ିକୁ ସମୀକରଣ manipulating ଦ୍ୱାରା ପାଇଥିବା ୟୁକ୍ତିତର୍କ ଅଟେ।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ତର୍କ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ଷମ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ଭାଷା: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଲଜିକ୍ ଫଙ୍କସନାଲ୍ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ଭାଷା , ଯାହା ALF ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା, ଏକ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ଭାଷା ଯାହା କାର୍ଯ୍ୟକ୍ଷମ ଏବଂ ଲଜିକ୍ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ କ ques ଶଳକୁ ଏକତ୍ର କରିଥାଏ \| ଏହାର ମୂଳଦୁଆ ହେଉଛି ସମାନତା ସହିତ ହର୍ନ କ୍ଲଜ୍ ଲଜିକ୍ ଯାହା ଲଜିକ୍ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ପାଇଁ ପୂର୍ବାନୁମାନ ଏବଂ ହର୍ନ୍ କ୍ଲଜ୍, ଏବଂ କାର୍ଯ୍ୟକ୍ଷମ ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ପାଇଁ କାର୍ଯ୍ୟ ଏବଂ ସମୀକରଣକୁ ନେଇ ଗଠିତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବହୁଗୁଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଯାହା ମଧ୍ୟ ବହୁଗୁଣିତ \| ଏହିପରି, ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ମେନିଫୋଲ୍ଡଗୁଡିକ ହେଉଛି ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଦ୍ୱାରା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥିବା ସୁଗମ ବକ୍ର ଏବଂ ପୃଷ୍ଠଗୁଡ଼ିକର ଧାରଣାର ଏକ ସାଧାରଣକରଣ \| ଏକ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି ଗୋଲାକାର, ଯାହାକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ x ² + y ² + z ² - 1 ର ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ଭାବରେ ପରିଭାଷିତ କରାଯାଇପାରେ , ଏବଂ ତେଣୁ ଏହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମାଟ୍ରଏଡ୍: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମ୍ୟାଟ୍ରଏଡ୍ ହେଉଛି ଏକ ମ୍ୟାଟ୍ରଏଡ୍, ଏକ ମିଶ୍ରଣକାରୀ ଗଠନ, ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ independence ାଧୀନତାର ସମ୍ପର୍କର ଏକ ଅବକ୍ଷୟକୁ ଦର୍ଶାଏ \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମଡେଲିଂ ଭାଷା: ବଡ଼ ଆକାରର ଗାଣିତିକ ଗଣନା ପାଇଁ ଉଚ୍ଚ ଜଟିଳତା ସମସ୍ୟାର ବର୍ଣ୍ଣନା ଏବଂ ସମାଧାନ ପାଇଁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମଡେଲିଂ ଭାଷା ( AML ) ହେଉଛି ଉଚ୍ଚ ସ୍ତରୀୟ କମ୍ପ୍ୟୁଟର ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂ ଭାଷା \| AIMMS, AMPL, GAMS, MathProg, Mosel, ଏବଂ OPLis ପରି କେତେକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମଡେଲିଂ ଭାଷାର ଏକ ବିଶେଷ ସୁବିଧା, ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ସମସ୍ୟାର ଗାଣିତିକ ନୋଟ ସହିତ ସେମାନଙ୍କର ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସର ସମାନତା \| ଏହା ଅପ୍ଟିମାଇଜେସନ୍ ଡୋମେନ୍ ରେ ଥିବା ସମସ୍ୟାଗୁଡିକର ଏକ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ଏବଂ ପଠନୀୟ ପରିଭାଷା ପାଇଁ ଅନୁମତି ଦିଏ, ଯାହାକି ସେଟ୍, ଇଣ୍ଡେକ୍ସ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, ଶକ୍ତିଶାଳୀ ସ୍ୱଳ୍ପ ସୂଚକାଙ୍କ ଏବଂ ଡାଟା ହ୍ୟାଣ୍ଡଲିଂ ଭେରିଏବଲ୍, ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ନାମ ସହିତ ପ୍ରତିବନ୍ଧକ ପରି କେତେକ ଭାଷା ଉପାଦାନ ଦ୍ୱାରା ସମର୍ଥିତ \| ଏକ ମଡେଲର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସୂତ୍ରରେ ଏହାକୁ କିପରି ପ୍ରକ୍ରିୟାକରଣ କରାଯିବ ସେ ସମ୍ବନ୍ଧରେ କ h ଣସି ସୂଚନା ନାହିଁ \|
ମଲ୍ଟିଗ୍ରିଡ୍ ପଦ୍ଧତି: ସାଂଖ୍ୟିକ ବିଶ୍ଳେଷଣରେ, ଏକ ମଲ୍ଟିଗ୍ରିଡ୍ ପଦ୍ଧତି ହେଉଛି ବିବେକକରଣର ଏକ ହାଇରାର୍କି ବ୍ୟବହାର କରି ଭିନ୍ନକ୍ଷମ ସମୀକରଣ ସମାଧାନ ପାଇଁ ଏକ ଆଲଗୋରିଦମ \| ମଲ୍ଟିରେସୋଲ୍ୟୁସନ ପଦ୍ଧତି କୁହାଯାଉଥିବା କ techni ଶଳଗୁଡିକର ଏକ ଉଦାହରଣ, ସେମାନେ ଆଚରଣର ଏକାଧିକ ମାପକାଠି ପ୍ରଦର୍ଶିତ କରିବାରେ ବହୁତ ଉପଯୋଗୀ \| ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଅନେକ ମ basic ଳିକ ଆରାମଦାୟକ ପଦ୍ଧତିଗୁଡିକ ସ୍ୱଳ୍ପ ଏବଂ ଦୀର୍ଘ-ତରଙ୍ଗଦ eng ର୍ଘ୍ୟ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ପାଇଁ ସମ୍ମିଶ୍ରଣର ବିଭିନ୍ନ ହାର ପ୍ରଦର୍ଶନ କରେ, ଏହି ଭିନ୍ନ ମାପକୁ ଭିନ୍ନ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରିବାକୁ ପରାମର୍ଶ ଦେଇଥାଏ, ଯେପରି ମଲ୍ଟିଗ୍ରିଡ୍ ପାଇଁ ଏକ ଫୁରିଅର୍ ଆନାଲିସିସ୍ ଆଭିମୁଖ୍ୟ \| MG ପଦ୍ଧତିଗୁଡିକ ସଲଭର ଏବଂ ପୂର୍ବ ସର୍ତ୍ତଗୁଡିକ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଇପାରିବ \|
Eigenvalues ଏବଂ eigenvectors: ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ , ଏକ ଇଜେନଭେକ୍ଟର୍ କିମ୍ବା ଏକ ର ar ଖିକ ରୂପାନ୍ତରର ଚରିତ୍ରିକ ଭେକ୍ଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ଅଣଜିରୋ ଭେକ୍ଟର୍ ଯାହା ସେହି ସ୍କେଲାର୍ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍ ଦ୍ୱାରା ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ ଯେତେବେଳେ ସେହି ର line ଖିକ ରୂପାନ୍ତର ପ୍ରୟୋଗ ହୁଏ \| ସଂପୃକ୍ତ ଇଜେନଭାଲ୍ୟୁ , ପ୍ରାୟତ। ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ \| $\text{[math]}$ , ସେହି କାରକ ଯାହା ଦ୍ e ାରା ଇଜେନଭେକ୍ଟର ମାପାଯାଇଥାଏ \|	ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ , ଏକ ଇଜେନଭେକ୍ଟର୍ କିମ୍ବା ଏକ ର ar ଖିକ ରୂପାନ୍ତରର ଚରିତ୍ରିକ ଭେକ୍ଟର୍ ହେଉଛି ଏକ ଅଣଜିରୋ ଭେକ୍ଟର୍ ଯାହା ସେହି ସ୍କେଲାର୍ ଫ୍ୟାକ୍ଟର୍ ଦ୍ୱାରା ପରିବର୍ତ୍ତନ ହୁଏ ଯେତେବେଳେ ସେହି ର line ଖିକ ରୂପାନ୍ତର ପ୍ରୟୋଗ ହୁଏ \| ସଂପୃକ୍ତ ଇଜେନଭାଲ୍ୟୁ , ପ୍ରାୟତ। ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସାଧାରଣ ରୂପ: ବୁଲିୟନ୍ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ , ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସାଧାରଣ ଫର୍ମ ( ANF ), ରିଙ୍ଗ୍ ରାଶି ସାଧାରଣ ଫର୍ମ , ଜେଗାଲ୍କିନ୍ ସାଧାରଣ ଫର୍ମ , କିମ୍ବା ରିଡ୍ - ମଲେର ବିସ୍ତାର ହେଉଛି ତିନୋଟି ଉପଫର୍ମର ଗୋଟିଏରେ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସୂତ୍ର ଲେଖିବାର ଏକ ଉପାୟ: ସମଗ୍ର ସୂତ୍ରଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସତ୍ୟ ବା ମିଥ୍ୟା: ୧ 0 ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଭେରିଏବଲ୍ ଏକ ଶବ୍ଦରେ ଏକତ୍ରିତ ହୋଇଛି, ତା'ପରେ ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଶବ୍ଦ ଏକତ୍ର ANF ରେ XORed \| କ NOT ଣସି ଟିପ୍ପଣୀ ଅନୁମୋଦିତ ନୁହେଁ: a ⊕ b ⊕ ab ⊕ abc \| କିମ୍ବା ମାନକ ପ୍ରସ୍ତାବିତ ତର୍କର ପ୍ରତୀକଗୁଡ଼ିକରେ: $\text{[math]}$ ଏକ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସତ୍ୟ ଶବ୍ଦ ସହିତ ପୂର୍ବ ସବ୍ଫର୍ମ: 1 ⊕ a ⊕ b ⊕ ab ⊕ abc \|	ବୁଲିୟନ୍ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ , ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସାଧାରଣ ଫର୍ମ ( ANF ), ରିଙ୍ଗ୍ ରାଶି ସାଧାରଣ ଫର୍ମ , ଜେଗାଲ୍କିନ୍ ସାଧାରଣ ଫର୍ମ , କିମ୍ବା ରିଡ୍ - ମଲେର ବିସ୍ତାର ହେଉଛି ତିନୋଟି ଉପଫର୍ମର ଗୋଟିଏରେ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସୂତ୍ର ଲେଖିବାର ଏକ ଉପାୟ: ସମଗ୍ର ସୂତ୍ରଟି ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ସତ୍ୟ ବା ମିଥ୍ୟା: \ n \| ୧ \ n 0 \ n ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଭେରିଏବଲ୍ ଏକ ଶବ୍ଦରେ ଏକତ୍ରିତ ହୋଇଛି, ତା'ପରେ ଗୋଟିଏ କିମ୍ବା ଅଧିକ ଶବ୍ଦ ଏକତ୍ର ANF ରେ XORed \| କ NOT ଣସି ଟିପ୍ପଣୀ ଅନୁମୋଦିତ ନୁହେଁ: \ n a ⊕ b ⊕ ab ⊕ abc \| କିମ୍ବା ଷ୍ଟାଣ୍ଡାର୍ଡ ପ୍ରୋଜୋଜିକାଲ୍ ଲଜିକ୍ ସଙ୍କେତଗୁଡ଼ିକରେ: \ n $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ନୋଟିସ୍ କରିପାରେ: ଗଣିତ ଏବଂ କମ୍ପ୍ୟୁଟରରେ, ଇନଫିକ୍ସ ନୋଟେସନ୍, ଏକ ବାଇନାରୀ ଅପରେଟରକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବାର ଅଭ୍ୟାସ ଏବଂ ଦୁଇଟି ଅପରେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ ଅପରେଟର୍ ସହିତ ଅପରେଣ୍ଡ୍ \| ବୀଜ ଖେଳରେ ଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକର ଗତିବିଧିକୁ ରେକର୍ଡିଂ କରିବା ପାଇଁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ନୋଟେସନ୍ (ଚେସ୍) \| ଭାଷା ବିଜ୍ଞାନରେ, ବାରମ୍ବାର ବର୍ଗଗତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ, ଯାହା "ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସିଣ୍ଟାକ୍ସ" ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା, ପ୍ରାକୃତିକ ଭାଷାଗୁଡ଼ିକ କିପରି ଗଠନ ହୋଇଛି ତାହାର ଏକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ଟିପ୍ପଣୀ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା (ଚେସ): Algebraic ଚିହ୍ନ ରେକର୍ଡିଂ ଏବଂ chess ଏକ ଖେଳରେ ଘୁଞ୍ଚାଏ ବର୍ଣ୍ଣନା ପାଇଁ ମାନକ ପ୍ରଣାଳୀକୁ। ଚେସବୋର୍ଡରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ବର୍ଗକୁ ସ୍ୱତନ୍ତ୍ର ଭାବରେ ଚିହ୍ନିବା ପାଇଁ ଏହା ଏକ ସଂଯୋଜନା ପ୍ରଣାଳୀ ଉପରେ ଆଧାରିତ \| ଅଧିକାଂଶ ବହି, ପତ୍ରିକା ଏବଂ ଖବରକାଗଜ ଦ୍ୱାରା ଏହା ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| ଇଂରାଜୀ ଭାଷାଭାଷୀ ଦେଶଗୁଡିକରେ, ବର୍ଣ୍ଣନାକାରୀ ନୋଟେସନ୍ ର ସମାନ୍ତରାଳ ପଦ୍ଧତି ସାଧାରଣତ che ଚେସ୍ ପ୍ରକାଶନରେ ପ୍ରାୟ 1980 ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଥିଲା। କିଛି ଖେଳାଳି ତଥାପି ବର୍ଣ୍ଣନାକାରୀ ନୋଟିସ୍ ବ୍ୟବହାର କରନ୍ତି, କିନ୍ତୁ ଏହା ଆଉ ଆନ୍ତର୍ଜାତୀୟ ଚେସ୍ ପରିଚାଳନା ସଂସ୍ଥା FIDE ଦ୍ୱାରା ସ୍ୱୀକୃତିପ୍ରାପ୍ତ ନୁହେଁ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ନୋଟିସ୍ କରିପାରେ: ଗଣିତ ଏବଂ କମ୍ପ୍ୟୁଟରରେ, ଇନଫିକ୍ସ ନୋଟେସନ୍, ଏକ ବାଇନାରୀ ଅପରେଟରକୁ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ କରିବାର ଅଭ୍ୟାସ ଏବଂ ଦୁଇଟି ଅପରେଣ୍ଡ ମଧ୍ୟରେ ଅପରେଟର୍ ସହିତ ଅପରେଣ୍ଡ୍ \| ବୀଜ ଖେଳରେ ଖଣ୍ଡଗୁଡ଼ିକର ଗତିବିଧିକୁ ରେକର୍ଡିଂ କରିବା ପାଇଁ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ନୋଟେସନ୍ (ଚେସ୍) \| ଭାଷା ବିଜ୍ଞାନରେ, ବାରମ୍ବାର ବର୍ଗଗତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ, ଯାହା "ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସିଣ୍ଟାକ୍ସ" ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା, ପ୍ରାକୃତିକ ଭାଷାଗୁଡ଼ିକ କିପରି ଗଠନ ହୋଇଛି ତାହାର ଏକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପାଇଁ ଗାଣିତିକ ଟିପ୍ପଣୀ \|
ଇନଫିକ୍ସ ଟିପ୍ପଣୀ: ଇନଫିକ୍ସ ନୋଟେସନ୍ ହେଉଛି ସାଧାରଣତ ar ଗଣିତ ଏବଂ ଲଜିକାଲ୍ ସୂତ୍ର ଏବଂ ଷ୍ଟେଟମେଣ୍ଟରେ ବ୍ୟବହୃତ ନୋଟେସନ୍ \| ଏହା ଅପରେଣ୍ଡସ୍ - "ଇନଫିକ୍ସଡ୍ ଅପରେଟର୍ସ" ମଧ୍ୟରେ ଅପରେଟରଙ୍କ ସ୍ଥାନିତ ଦ୍ୱାରା ବର୍ଣ୍ଣିତ - 2 + 2 ରେ ପ୍ଲସ୍ ସାଇନ୍ ଭଳି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା: ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଯେକ complex ଣସି ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ ଗୋଟିଏ ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଏକ ଶୂନ ନଥିବା ବହୁଜନର ମୂଳ ଅଟେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର \| $\text{[math]}$ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରର ଏକ ସୀମିତ ଡିଗ୍ରୀ କ୍ଷେତ୍ର ବିସ୍ତାର ଅଟେ \| $\text{[math]}$ । ଏହିପରି \| $\text{[math]}$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ଯାହା ଧାରଣ କରେ \| $\text{[math]}$ ଏବଂ ଏକ ଭେକ୍ଟର ସ୍ପେସ୍ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯିବାବେଳେ ଏହାର ସୀମିତ ପରିମାଣ ଅଛି \| $\text{[math]}$ ।	ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର \| $\text{[math]}$ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ରର ଏକ ସୀମିତ ଡିଗ୍ରୀ କ୍ଷେତ୍ର ବିସ୍ତାର ଅଟେ \| $\text{[math]}$ । ଏହିପରି \| $\text{[math]}$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ର ଯାହା ଧାରଣ କରେ \| $\text{[math]}$ ଏବଂ ଏକ ଭେକ୍ଟର ସ୍ପେସ୍ ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯିବାବେଳେ ଏହାର ସୀମିତ ପରିମାଣ ଅଛି \| $\text{[math]}$ ।	ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର \| $\text{[math]}$
ସର୍ବନିମ୍ନ ବହୁଭୂତ (ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବିବେଚନା): ରୈଖିକ algebra ରେ, ଏକ $n \times n$ ମାଟ୍ରିକ୍ସ $ଏକ$ ଏକ କ୍ଷେତ୍ର $F$ ଉପରେ ର ସର୍ବନିମ୍ନ polynomial $μ ଏକ$ ର ଅତିକମରେ ଡିଗ୍ରୀ ଯେପରିକି $P (ଏକ) 0 =$ ହେଉଛି $F$ ଉପରେ monic polynomial $P।$ $Q (A) = 0$ ସହିତ ଅନ୍ୟ କ pol ଣସି ପଲିନୋମିଆଲ୍ $Q$ ହେଉଛି $μ A$ ର ଏକ (ବହୁଭୂତ) ଏକାଧିକ \|
ଇଣ୍ଟିଜର୍ସର ରିଙ୍ଗ: ରେ ଗଣିତ, ଏକ algebraic ସଂଖ୍ଯା କ୍ଷେତ୍ର $K$ ଗଣନ ର Ring $କେ$ ରେ ଧାରଣ ସମସ୍ତ integral ଉପାଶଂଗୁଡିକର ମୁଦି ଅଟେ। ଏକ ଅବିଚ୍ଛେଦ୍ୟ ଉପାଦାନ ହେଉଛି ଇଣ୍ଟିଜର୍ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ ଏକ ମୋନିକ୍ ପଲିନୋମିଆଲ୍ ର ମୂଳ, $x n + c n -1 x n -1 + ... + c 0$ \| ଏହି ରିଙ୍ଗକୁ ପ୍ରାୟତ $O O K$ କିମ୍ବା ଦ୍ୱାରା ସୂଚିତ କରାଯାଇଥାଏ \| $\text{[math]}$ । ଯେହେତୁ କୌଣସି ଇଣ୍ଟିଜର୍ $K$ ଆସେ ଏବଂ ର $K$ ଏକ integral ଉପାଦାନ ହେଉଛି, ଅଙ୍ଗୁରୀଯ $Z$ ସର୍ବଦା $େହ କେ$ ଏକ subring ଅଟେ।
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ନମ୍ବର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ହେଉଛି ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଏକ ଶାଖା ଯାହା ଇଣ୍ଟିଜର୍ସ, ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ସଂଖ୍ୟା ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ସାଧାରଣକରଣ ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ ବିସ୍ତୃତ ଆଲଜେବ୍ରାର କ ques ଶଳ ବ୍ୟବହାର କରେ \| ସଂଖ୍ୟା-ତତ୍ତ୍ questions ିକ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବସ୍ତୁର ଗୁଣ ପରି ବର୍ଣ୍ଣିତ ହୋଇଛି ଯେପରିକି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା କ୍ଷେତ୍ର ଏବଂ ସେମାନଙ୍କର ପୂର୍ଣ୍ଣ ସଂଖ୍ୟା, ସୀମିତ କ୍ଷେତ୍ର, ଏବଂ କାର୍ଯ୍ୟ କ୍ଷେତ୍ର \| ଏହି ଗୁଣଗୁଡିକ, ଯେପରିକି ଏକ ରିଙ୍ଗ ଅନନ୍ୟ ଫ୍ୟାକ୍ଟ୍ରାଇଜେସନ୍, ଆଦର୍ଶର ଆଚରଣ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ରର ଗାଲୋଇସ୍ ଗୋଷ୍ଠୀକୁ ସ୍ୱୀକାର କରେ କି, ସଂଖ୍ୟା ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ପ୍ରାଥମିକ ଗୁରୁତ୍ୱପୂର୍ଣ୍ଣ ପ୍ରଶ୍ନଗୁଡିକ ସମାଧାନ କରିପାରିବ, ଯେପରି ଡାଇଓଫାଣ୍ଟାଇନ୍ ସମୀକରଣର ସମାଧାନର ଅସ୍ତିତ୍ୱ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା: ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂଖ୍ୟା ହେଉଛି ଯେକ complex ଣସି ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଯାହା ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ ଗୋଟିଏ ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଏକ ଶୂନ ନଥିବା ବହୁଜନର ମୂଳ ଅଟେ \|
କାଲକୁଲେଟର ଇନପୁଟ୍ ପଦ୍ଧତି: ବିଭିନ୍ନ ଉପାୟ ଅଛି ଯେଉଁଥିରେ କାଲକୁଲେଟରଗୁଡ଼ିକ କି-ଷ୍ଟ୍ରୋକକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରନ୍ତି \| ଏଗୁଡିକ ଦୁଇଟି ମୁଖ୍ୟ ପ୍ରକାରରେ ବିଭକ୍ତ କରାଯାଇପାରେ: ଗୋଟିଏ ଷ୍ଟେପ୍ କିମ୍ବା ତତକ୍ଷଣାତ୍ ଏକଜେକ୍ୟୁଶନ୍ କାଲକୁଲେଟରରେ , ଉପଭୋକ୍ତା ପ୍ରତ୍ୟେକ ମୂଲ୍ୟ ପାଇଁ ଚାବି ଦବାଇ, ସମସ୍ତ ମଧ୍ୟବର୍ତ୍ତୀ ଫଳାଫଳକୁ ଗଣନା କରି, ଚୂଡ଼ାନ୍ତ ମୂଲ୍ୟ ଦେଖାଯିବା ପୂର୍ବରୁ \| ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କିମ୍ବା ଫର୍ମୁଲା କାଲକୁଲେଟର ଉପରେ , ଏକ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ରେ ଏକ ପ୍ରକାର ଏବଂ ତାପରେ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ କୁ ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ "=" କିମ୍ବା "ଏଣ୍ଟର୍" ଭଳି ଏକ ଚାବିକୁ ଦବାନ୍ତୁ \| ନିମ୍ନରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇଥିବା ପରି ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିରେ ଟାଇପ୍ କରିବା ପାଇଁ ବିଭିନ୍ନ ସିଷ୍ଟମ୍ ଅଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣିତରେ, ଏକ ମ basic ଳିକ ବୀଜ ବ ra ଜ୍ଞାନିକ କାର୍ଯ୍ୟ ହେଉଛି ଗଣିତର ସାଧାରଣ କାର୍ଯ୍ୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ଯେଉଁଥିରେ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ, ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଶକ୍ତି ବୃଦ୍ଧି ଏବଂ ମୂଳ ଗ୍ରହଣ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ \| ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ପ୍ରତୀକ ସହିତ ଅକ୍ଷର ମଧ୍ଯ ବ୍ୟବହାର କରି। ସେଗୁଡିକ ମଧ୍ୟ ସମାନ ଭାବରେ, ଭେରିଏବଲ୍, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ଏବଂ ସାଧାରଣତ, ବୀଜ ବ structures ଜ୍ଞାନିକ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଉପରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରାଯାଇପାରେ, ଯେପରିକି ଗୋଷ୍ଠୀ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ର \| ଏକ ସେଟ୍ ର କାର୍ଟେସିଆନ୍ ପାୱାର୍ ଠାରୁ ସମାନ ସେଟ୍ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଅପରେସନ୍ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣିତରେ, ଏକ ମ basic ଳିକ ବୀଜ ବ ra ଜ୍ଞାନିକ କାର୍ଯ୍ୟ ହେଉଛି ଗଣିତର ସାଧାରଣ କାର୍ଯ୍ୟ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ, ଯେଉଁଥିରେ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ, ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣ ଶକ୍ତି ବୃଦ୍ଧି ଏବଂ ମୂଳ ଗ୍ରହଣ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ \| ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ପ୍ରତୀକ ସହିତ ଅକ୍ଷର ମଧ୍ଯ ବ୍ୟବହାର କରି। ସେଗୁଡିକ ମଧ୍ୟ ସମାନ ଭାବରେ, ଭେରିଏବଲ୍, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ଏବଂ ସାଧାରଣତ, ବୀଜ ବ structures ଜ୍ଞାନିକ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ଉପରେ କାର୍ଯ୍ୟ କରାଯାଇପାରେ, ଯେପରିକି ଗୋଷ୍ଠୀ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ର \| ଏକ ସେଟ୍ ର କାର୍ଟେସିଆନ୍ ପାୱାର୍ ଠାରୁ ସମାନ ସେଟ୍ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ଏକ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଅପରେସନ୍ ମଧ୍ୟ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇପାରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବକ୍ର: ଗଣିତରେ, ଏକ ଆଫାଇନ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ର ହେଉଛି ଦୁଇଟି ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ବହୁଭୂତିର ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ \| ଏକ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ର ହେଉଛି ତିନୋଟି ଭେରିଏବଲ୍ ରେ ଏକ ସମଲିଙ୍ଗୀ ବହୁଜନିଆର ଏକ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ପ୍ଲେନରେ ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ \| ଏକ ଆଫିନ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ର ଏହାର ପରିଭାଷିତ ବହୁଭୂତକୁ ହୋମୋଜେନାଇଜ୍ କରି ଏକ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ରରେ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ହୋଇପାରିବ \| ଅପରପକ୍ଷେ, ସମକକ୍ଷ ସମୀକରଣ $h (x, y, t) = 0$ ର ଏକ ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିମାନ ବକ୍ରତା $h (x, y, 1) = 0$ ସମୀକରଣର ଆଫାଇନ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ରରେ ସୀମିତ ହୋଇପାରେ \| ଏହି ଦୁଇଟି ଅପରେସନ୍ ପ୍ରତ୍ୟେକଟି ବିପରୀତ; ତେଣୁ, ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ପ୍ଲେନ୍ ବକ୍ର ବାକ୍ୟାଂଶ ପ୍ରାୟତ aff ସ୍ପଷ୍ଟ ଭାବରେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ନକରି ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ କି ଏହା ଆଫାଇନ୍ କିମ୍ବା ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ କେସ୍ ଯାହା ବିବେଚନା କରାଯାଏ \|
କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ: କ୍ରମ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଗାଣିତିକ କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଆଂଶିକ ଅର୍ଡର ହୋଇଥିବା ସେଟ୍ ର କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ କିମ୍ବା ସୀମିତ ଉପାଦାନଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ସେହି ଉପାଦାନଗୁଡିକ ଯାହା କ any ଣସି ଖାଲି ନଥିବା ନିର୍ଦ୍ଦେଶିତ ସେଟ୍ ର ସର୍ବୋଚ୍ଚ ଦ୍ୱାରା ସବସିଡ୍ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ ଯାହା ପୂର୍ବରୁ କମ୍ପାକ୍ଟ ଉପାଦାନ ଉପରେ ସଦସ୍ୟ ଧାରଣ କରିନଥାଏ \| କମ୍ପାକ୍ଟେନ୍ସିର ଏହି ଧାରଣା ଏକକାଳୀନ ସେଟ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଟପୋଲୋଜିରେ କମ୍ପାକ୍ଟ ସେଟ୍ ଏବଂ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ ସୀମିତ ଭାବରେ ନିର୍ମିତ ମଡ୍ୟୁଲ୍ ଧାରଣାକୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
କାର୍ଯ୍ୟର କ୍ରମ: ଗଣିତ ଏବଂ କମ୍ପ୍ୟୁଟର ପ୍ରୋଗ୍ରାମିଂରେ, ଅପରେସନ୍ସର କ୍ରମ ହେଉଛି ନିୟମର ଏକ ସଂଗ୍ରହ ଯାହା ଏକ ପ୍ରଦତ୍ତ ଗାଣିତିକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ମୂଲ୍ୟାଙ୍କନ କରିବା ପାଇଁ କେଉଁ ପ୍ରକ୍ରିୟା ପ୍ରଥମେ କରିବା ଉଚିତ ସେ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ନିୟମାବଳୀକୁ ପ୍ରତିଫଳିତ କରିଥାଏ \|
ବୀଜ ବିବେଚନା: Algebra ଗଣିତର ପ୍ରଶସ୍ତ କ୍ଷେତ୍ରରେ ଗୋଟିଏ ହେଉଛି, ଏକତ୍ର ତତ୍ତ୍ୱ ସଂଖ୍ଯା, ଜ୍ୟାମିତି ଏବଂ ବିଶ୍ଳେଷଣ ସହିତ। ଏହାର ସାଧାରଣ ରୂପରେ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ହେଉଛି ଗାଣିତିକ ପ୍ରତୀକଗୁଡ଼ିକର ଅଧ୍ୟୟନ ଏବଂ ଏହି ପ୍ରତୀକଗୁଡ଼ିକୁ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ କରିବାର ନିୟମ; ଏହା ପ୍ରାୟ ସମସ୍ତ ଗଣିତର ଏକୀକରଣ ସୂତ୍ର \| ଏହା ପ୍ରାଥମିକ ସମୀକରଣ ସମାଧାନଠାରୁ ଆରମ୍ଭ କରି ଗ୍ରୁପ୍, ରିଙ୍ଗ ଏବଂ କ୍ଷେତ୍ର ପରି ଅବକ୍ଷୟ ଅଧ୍ୟୟନ ପର୍ଯ୍ୟନ୍ତ ସବୁକିଛି ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣର ଅଧିକ ମ basic ଳିକ ଅଂଶଗୁଡ଼ିକୁ ପ୍ରାଥମିକ ବୀଜ ବିବେଚନା କରାଯାଏ; ଅଧିକ ବିସ୍ତୃତ ଅଂଶଗୁଡ଼ିକୁ ଅବଷ୍ଟ୍ରାକ୍ଟ ବୀଜ ବିବେଚନା ବା ଆଧୁନିକ ବୀଜ ବିବେଚନା କୁହାଯାଏ \| ଗଣିତ, ବିଜ୍ଞାନ, କିମ୍ବା ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂର ଯେକ study ଣସି ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ medicine ଷଧ ଏବଂ ଅର୍ଥନୀତି ଭଳି ପ୍ରୟୋଗ ପାଇଁ ପ୍ରାଥମିକ ବୀଜ ବିବେଚନା ସାଧାରଣତ essential ଜରୁରୀ ବୋଲି ବିବେଚନା କରାଯାଏ \| ଉନ୍ନତ ଗଣିତରେ ଅବକ୍ଷୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଏକ ପ୍ରମୁଖ କ୍ଷେତ୍ର, ମୁଖ୍ୟତ professional ବୃତ୍ତିଗତ ଗଣିତଜ୍ଞଙ୍କ ଦ୍ୱାରା ଅଧ୍ୟୟନ କରାଯାଇଥିଲା \|
ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଜ୍ୟାମିତି: ଗଣିତରେ, ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଜ୍ୟାମିତ୍ରୀ ହେଉଛି ଜ୍ୟାମିତିକ ଗୁଣଗୁଡିକର ଅଧ୍ୟୟନ ଯାହା ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମେସନ୍ ସହିତ ଅଲଗା ଅଟେ \| ଏହାର ଅର୍ଥ ହେଉଛି, ପ୍ରାଥମିକ ଇଉକ୍ଲିଡିଆନ୍ ଜ୍ୟାମିତ୍ରୀ ତୁଳନାରେ, ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ଭିନ୍ନ ସେଟିଂ, ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ଏବଂ ମ basic ଳିକ ଜ୍ୟାମିତିକ ଧାରଣାର ଏକ ଚୟନକାରୀ ସେଟ୍ ଅଛି \| ମ basic ଳିକ ଅନ୍ତର୍ନିହିତତା ହେଉଛି ଯେ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପରିମାଣ ପାଇଁ ଇଉକ୍ଲିଡିଆନ୍ ସ୍ପେସ୍ ଅପେକ୍ଷା ପ୍ରୋଜେକ୍ଟିଭ୍ ସ୍ପେସ୍ ଅଧିକ ପଏଣ୍ଟ ଅଛି ଏବଂ ଜ୍ୟାମିତିକ ପରିବର୍ତ୍ତନକୁ ଅନୁମତି ଦିଆଯାଇଛି ଯାହା ଅତିରିକ୍ତ ପଏଣ୍ଟଗୁଡ଼ିକୁ ଇଉକ୍ଲିଡିଆନ୍ ପଏଣ୍ଟରେ ରୂପାନ୍ତର କରିଥାଏ ଏବଂ ବିପରୀତରେ \|
ବଦଳର ନିୟମ: ତର୍କରେ, ପ୍ରତିସ୍ଥାପନର ଏକ ନିୟମ ହେଉଛି ଏକ ପରିବର୍ତ୍ତନ ନିୟମ ଯାହା କେବଳ ଏକ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତିର ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିଭାଗରେ ପ୍ରୟୋଗ ହୋଇପାରେ \| ଏକ ଲଜିକାଲ୍ ସିଷ୍ଟମ୍ ନିର୍ମାଣ ହୋଇପାରେ ଯାହା ଦ୍ it ାରା ଏହା ଆକ୍ସିଓମ୍, ଇନ୍ଫେରେନ୍ସ ନିୟମ କିମ୍ବା ଉଭୟ ସିଷ୍ଟମରେ ଲଜିକାଲ୍ ଏକ୍ସପ୍ରେସନ୍ ପାଇଁ ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମେସନ୍ ନିୟମ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରେ \| ଯେତେବେଳେ କି ଏକ ସଂପୂର୍ଣ୍ଣ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ପାଇଁ ଏକ ନିୟମ ସର୍ବଦା ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଏ, କେବଳ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ବିଭାଗରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନର ନିୟମ ପ୍ରୟୋଗ ହୋଇପାରେ \| ଏକ ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ପ୍ରମାଣ ପରିପ୍ରେକ୍ଷୀରେ, ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ଭାବରେ ସମାନ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି ପରସ୍ପରକୁ ବଦଳାଇପାରେ \| ପ୍ରସ୍ତାବଗୁଡ଼ିକର ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ପାଇଁ ପ୍ରସ୍ତାବିତ ତର୍କରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନର ନିୟମ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \|
ସ୍ଥାନୀୟ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଫିଲ୍ଡ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଫିଲ୍ଡ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ପାଇଁ Haag - Kastler axiomatic framework ାଞ୍ଚା , Haag ଏବଂ Kastler (1964) ଦ୍ introduced ାରା ଉପସ୍ଥାପିତ ହୋଇଛି, C * -algebra ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ସ୍ଥାନୀୟ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ପଦାର୍ଥ ବିଜ୍ଞାନ ପାଇଁ ଏକ ପ୍ରୟୋଗ \| ଏହି କାରଣରୁ ଏହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କ୍ୱାଣ୍ଟମ୍ ଫିଲ୍ଡ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ( AQFT ) ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା \| ମିନକୋସ୍କି ସ୍ପେସରେ ଥିବା ପ୍ରତ୍ୟେକ ଖୋଲା ସେଟ୍ ପାଇଁ ଦିଆଯାଇଥିବା ଏକ ବୀଜ ବିବେକ ଏବଂ ସେଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟରେ ମ୍ୟାପିଙ୍ଗ୍ ଅନୁଯାୟୀ ଆକ୍ସିୟମ୍ ଗୁଡିକ ଦର୍ଶାଯାଇଛି \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ପୁନ recon ନିର୍ମାଣ କ techni ଶଳ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୁନ recon ନିର୍ମାଣ କ techni ଶଳ (ART) ହେଉଛି ଗଣିତ ଟମୋଗ୍ରାଫିରେ ବ୍ୟବହୃତ ଏକ ପୁନରାବୃତ୍ତି ପୁନ recon ନିର୍ମାଣ କ techni ଶଳ \| ଏହା ଏକ କୋଣାର୍କ ପ୍ରୋଜେକସନରୁ ଏକ ପ୍ରତିଛବିକୁ ପୁନ str ନିର୍ମାଣ କରେ \| ଗର୍ଡନ୍, ବେଣ୍ଡର୍ ଏବଂ ହରମାନ ପ୍ରଥମେ ପ୍ରତିଛବି ପୁନ struction ନିର୍ମାଣରେ ଏହାର ବ୍ୟବହାର ଦେଖାଇଲେ; ଯେତେବେଳେ ପଦ୍ଧତିଟି ସାଂଖ୍ୟିକ ର line ଖ୍ୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ କାଜମାରଜ୍ ପଦ୍ଧତି ଭାବରେ ଜଣାଶୁଣା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା: ଗଣିତରେ, k- ଆଲଜେବ୍ରା A ଉପରେ ଏକ ଗ୍ରୁପ୍ G ର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଉପସ୍ଥାପନା ହେଉଛି ଏକ ର ar ଖ୍ୟ ଉପସ୍ଥାପନା \| $\text{[math]}$ ଯେପରିକି, G ରେ ପ୍ରତ୍ୟେକ g ପାଇଁ, $\text{[math]}$ ଏକ ବୀଜଜୀବୀ ଅଟୋମୋର୍ଫିଜିମ୍ \| ଏହିପରି ଏକ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ସହିତ ସଜ୍ଜିତ, ବୀଜ୍ A କୁ ପରେ G -algebra କୁହାଯାଏ \|	ଗଣିତରେ, k- ଆଲଜେବ୍ରା A ଉପରେ ଏକ ଗ୍ରୁପ୍ G ର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଉପସ୍ଥାପନା ହେଉଛି ଏକ ର ar ଖ୍ୟ ଉପସ୍ଥାପନା \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ରିକ୍କାଟି ସମୀକରଣ: ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ରିକ୍କାଟୀ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଏକ ପ୍ରକାର ଅଣ-ର ar ଖିକ ସମୀକରଣ ଯାହା କ୍ରମାଗତ ସମୟ କିମ୍ବା ପୃଥକ ସମୟରେ ଅସୀମ-ରାଶିଫଳ ଉତ୍କୃଷ୍ଟ ନିୟନ୍ତ୍ରଣ ସମସ୍ୟା ପରିପ୍ରେକ୍ଷୀରେ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ \|
ରିଙ୍ଗ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ରିଙ୍ଗଗୁଡ଼ିକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଂରଚନା ଯାହା କ୍ଷେତ୍ରଗୁଡ଼ିକୁ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ: ଗୁଣନ କ୍ରମାଗତ ହେବା ଆବଶ୍ୟକ ନୁହେଁ ଏବଂ ଗୁଣନ ଇନଭର୍ସ ରହିବା ଆବଶ୍ୟକ ନାହିଁ \| ଅନ୍ୟ ଶବ୍ଦରେ, ଏକ ରିଙ୍ଗ ହେଉଛି ଦୁଇଟି ବାଇନାରୀ ଅପରେସନ୍ ସହିତ ସଜ୍ଜିତ ଗୁଣ ଯାହା ଇଣ୍ଟିଜର୍ସର ଯୋଗ ଏବଂ ଗୁଣନ ସହିତ ସମାନ ଅଟେ \| ରିଙ୍ଗ୍ ଉପାଦାନଗୁଡିକ ସଂଖ୍ୟା ହୋଇପାରେ ଯେପରିକି ଇଣ୍ଟିଜର୍ କିମ୍ବା ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା, କିନ୍ତୁ ସେଗୁଡ଼ିକ ଅଣ-ସାଂଖ୍ୟିକ ବସ୍ତୁ ଯେପରିକି ପଲିନୋମିଆଲ୍, ବର୍ଗ ମ୍ୟାଟ୍ରିକ୍ସ, ଫଙ୍କସନ୍, ଏବଂ ପାୱାର୍ ସିରିଜ୍ ହୋଇପାରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣ ବା ବହୁଜନିକ ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଫର୍ମର ଏକ ସମୀକରଣ \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଶବ୍ଦକୋଷ: ଏହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଏକ ଶବ୍ଦକୋଷ ଅଟେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥଗୁଡିକ : ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସେମାଣ୍ଟିକ୍ସ (କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନ): କମ୍ପ୍ୟୁଟର ବିଜ୍ଞାନରେ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସେମାଣ୍ଟିକ୍ସ ହେଉଛି ଏକ ଆନୁଷ୍ଠାନିକ sem ଙ୍ଗରେ ପ୍ରୋଗ୍ରାମ ସେମାଣ୍ଟିକ୍ସ ବିଷୟରେ ବର୍ଣ୍ଣନା କରିବା ଏବଂ ଯୁକ୍ତି କରିବା ପାଇଁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ନିୟମ ଉପରେ ଆଧାରିତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥଗୁଡିକ : ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ \| ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅର୍ଥ (ଗାଣିତିକ ତର୍କ): ଗାଣିତିକ ତର୍କ ରେ, algebraic ଅର୍ଥ ବିନ୍ୟାସ algebraic ତର୍କ ଅଂଶ ଭାବରେ ଅଧ୍ୟୟନ algebras ଉପରେ ଆଧାରିତ ଔପଚାରିକ ଅର୍ଥ ବିନ୍ୟାସ ଅଟେ। ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ମୋଡାଲ୍ ଲଜିକ୍ S4 ଟପୋଲୋଜିକାଲ୍ ବୁଲିୟାନ୍ ଆଲଜେବ୍ରାସ୍ ଶ୍ରେଣୀ ଦ୍ୱାରା ବର୍ଣ୍ଣିତ - ଅର୍ଥାତ୍ ଏକ ଇଣ୍ଟେରିଅର୍ ଅପରେଟର୍ ସହିତ ବୁଲିୟାନ୍ ଆଲଜେବ୍ରା \| ଅନ୍ୟ ମୋଡାଲ୍ ଲଜିକ୍ସ ଅପରେଟର୍ ସହିତ ବିଭିନ୍ନ ଆଲଜେବ୍ରା ଦ୍ୱାରା ବର୍ଣ୍ଣିତ \| ବୁଲିୟାନ୍ ଆଲଜେବ୍ରାସର ଶ୍ରେଣୀ ଶାସ୍ତ୍ରୀୟ ପ୍ରସ୍ତାବିତ ତର୍କକୁ, ଏବଂ ହେଟିଂ ଆଲଜେବ୍ରାସ୍ ପ୍ରସ୍ତାବିତ ଅନ୍ତର୍ନିହିତ ତର୍କର ଶ୍ରେଣୀକୁ ବର୍ଣ୍ଣିତ କରେ \| MV-algebras ହେଉଛି Łukasiewicz ତର୍କର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବାକ୍ୟ: ଗାଣିତିକ ତର୍କରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବାକ୍ୟ ହେଉଛି ଯାହା ମାଗଣା ଭେରିଏବଲ୍ ସହିତ ଶବ୍ଦ ମଧ୍ୟରେ ସମୀକରଣ ବ୍ୟବହାର କରି ବର୍ଣ୍ଣନା କରାଯାଇପାରେ \| ଅସମାନତା ଏବଂ ପରିମାଣଗୁଡିକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାବରେ ଅନୁମୋଦିତ ନୁହେଁ \| ସେଣ୍ଟେନସିଆଲ୍ ଲଜିକ୍ ହେଉଛି କେବଳ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ବାକ୍ୟ ସହିତ ଜଡିତ ପ୍ରଥମ କ୍ରମର ତର୍କର ଉପସେଟ୍ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିଭିନ୍ନ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କିସମଗୁଡିକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଅଧ୍ୟୟନର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ବସ୍ତୁ, ଗଣିତର ଏକ ଉପ-କ୍ଷେତ୍ର \| ସାଧାରଣତ ,, ପ୍ରକୃତ ବା ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ବହୁଜନିଆ ସମୀକରଣର ଏକ ସିଷ୍ଟମର ସମାଧାନର ସେଟ୍ ଭାବରେ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିବିଧତାକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଛି \| ମୂଳ ପରିଭାଷା ପଛରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ଅନ୍ତ u କରଣକୁ ବଞ୍ଚାଇବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଥିବାବେଳେ ଆଧୁନିକ ସଂଜ୍ଞା ଏହି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
ଚିହ୍ନ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଚିହ୍ନର ଧାରଣା ସମ୍ପତ୍ତିରୁ ଉତ୍ପନ୍ନ ହୁଏ ଯେ ପ୍ରତ୍ୟେକ ପ୍ରକୃତ ସଂଖ୍ୟା ସକରାତ୍ମକ, ନକାରାତ୍ମକ କିମ୍ବା ଶୂନ୍ୟ \| ସ୍ଥାନୀୟ ସମ୍ମିଳନୀ ଉପରେ ନିର୍ଭର କରି, ଶୂନକୁ ଏକ ସକାରାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା, କିମ୍ବା ନକାରାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା କିମ୍ବା ଉଭୟ ନକାରାତ୍ମକ ଏବଂ ସକରାତ୍ମକ ସଂଖ୍ୟା ଭାବରେ ବିବେଚନା କରାଯାଏ \| ଯେତେବେଳେ ବି ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାବରେ ଉଲ୍ଲେଖ କରାଯାଇ ନାହିଁ, ଏହି ଆର୍ଟିକିଲ୍ ପ୍ରଥମ ସମ୍ମିଳନୀକୁ ପାଳନ କରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସଙ୍କେତ ପ୍ରକ୍ରିୟାକରଣ: ର line ଖ୍ୟ ସଙ୍କେତ ପ୍ରକ୍ରିୟାକରଣର ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ତତ୍ତ୍ In ରେ, ଫିଲ୍ଟରଗୁଡିକର ଏକ ସେଟ୍କୁ ବୀଜ ବିବେଚନା କରାଯାଏ ଏବଂ ସିଗ୍ନାଲ୍ ର ଏକ ସେଟ୍କୁ ଏକ ମଡ୍ୟୁଲ୍ ଭାବରେ ବ୍ୟବହାର କରାଯାଏ ଏବଂ z- ଟ୍ରାନ୍ସଫର୍ମକୁ ର line ଖ୍ୟ ମାନଚିତ୍ରରେ ସାଧାରଣ କରାଯାଇଥାଏ \|
ଦସ୍ତଖତ (ତର୍କ): ତର୍କରେ, ବିଶେଷକରି ଗାଣିତିକ ତର୍କରେ, ଏକ ଦସ୍ତଖତ ଏକ ଆନୁଷ୍ଠାନିକ ଭାଷାର ଅଣ-ଯୁକ୍ତିଯୁକ୍ତ ପ୍ରତୀକଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରେ ଏବଂ ବର୍ଣ୍ଣନା କରେ \| ସର୍ବଭାରତୀୟ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ ସ୍ ature ାକ୍ଷର ଅପରେସନ୍ଗୁଡ଼ିକୁ ତାଲିକାଭୁକ୍ତ କରେ ଯାହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଠନକୁ ବର୍ଣ୍ଣିତ କରେ \| ମଡେଲ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଦସ୍ତଖତ ଉଭୟ ଉଦ୍ଦେଶ୍ୟରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| ତର୍କର ଅଧିକ ଦାର୍ଶନିକ ଚିକିତ୍ସାରେ ସେଗୁଡିକ କ୍ୱଚିତ୍ ସ୍ପଷ୍ଟ କରାଯାଇଥାଏ \|
ସରଳୀକରଣ: ସରଳୀକରଣ , ସରଳୀକରଣ , କିମ୍ବା ସରଳୀକୃତ ହୋଇପାରେ:
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମାଧାନ: ରେଡିକାଲ୍ସରେ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମାଧାନ ବା ସମାଧାନ ହେଉଛି ଏକ ବନ୍ଦ-ଫର୍ମ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, ଏବଂ ଅଧିକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଭାବରେ ଏକ ବନ୍ଦ-ଫର୍ମ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଅଭିବ୍ୟକ୍ତି, ଯାହା କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ଦୃଷ୍ଟିରୁ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ଅଟେ, କେବଳ ଯୋଗ, ବିତରଣ, ଗୁଣନ, ବିଭାଜନ, ବୃଦ୍ଧି ଉପରେ ନିର୍ଭର କରେ \| ପୂର୍ଣ୍ଣ ଶକ୍ତି, ଏବଂ nth ମୂଳର ନିଷ୍କାସନ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ଥାନ: ଗଣିତରେ, ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ପେସ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଜ୍ୟାମିତିର ଯୋଜନାଗୁଡିକର ଏକ ସାଧାରଣକରଣ ସୃଷ୍ଟି କରେ, ଯାହା ଆର୍ଟିନ୍ ଦ୍ de ାରା ବିକୃତି ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ ବ୍ୟବହାର ପାଇଁ ପ୍ରବର୍ତ୍ତିତ ହୋଇଥିଲା \| ଅନ୍ତର୍ନିହିତ ଭାବରେ, ଜରିସ୍କି ଟପୋଲୋଜି ବ୍ୟବହାର କରି ଆଫିନ୍ ସ୍କିମ୍ ଗୁଡିକୁ ଏକତ୍ର ଗ୍ଲୁଇଙ୍ଗ୍ କରି ସ୍କିମ୍ ଦିଆଯାଏ, ଯେତେବେଳେ କି ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ସ୍ପେସ୍ ଗୁଡିକ ସୂକ୍ଷ୍ମ ଏଟେଲ୍ ଟପୋଲୋଜି ବ୍ୟବହାର କରି ଆଫାଇନ୍ ସ୍କିମ୍ ଗୁଡିକୁ ଏକତ୍ର କରି ଦିଆଯାଏ \| ବ ly କଳ୍ପିକ ଭାବରେ, ସ୍କିମଗୁଡିକ ଜରିସ୍କି ଟପୋଲୋଜିରେ ଆଫାଇନ୍ ସ୍କିମ୍ ପାଇଁ ସ୍ଥାନୀୟ ଭାବରେ ଆଇସୋମର୍ଫିକ୍ ବୋଲି ଭାବିପାରେ, ଯେତେବେଳେ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ସ୍ପେସ୍ ସ୍ଥାନୀୟ ଭାବରେ ଇଟୋଲେ ଟପୋଲୋଜିରେ ସ୍କିମ୍ ଆଫିନ୍ ଅଟେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ: ସିଷ୍ଟମ ଆଚରଣକୁ ଆନୁଷ୍ଠାନିକ ଭାବରେ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କରିବା ପାଇଁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟକରଣ ହେଉଛି ଏକ ସଫ୍ଟୱେୟାର ଇଞ୍ଜିନିୟରିଂ କ techni ଶଳ \| 1980 ମସିହାରେ ଏହା CS ଗବେଷଣାର ଏକ ଅତ୍ୟନ୍ତ ସକ୍ରିୟ ବିଷୟ ଥିଲା \|
ବିଭାଜନ କ୍ଷେତ୍ର: ବିସ୍ତୃତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣରେ, ଏକ କ୍ଷେତ୍ରର କୋଏଫେସିଏଣ୍ଟସ୍ ସହିତ ଏକ ବହୁଜନିଆର ଏକ ବିଭାଜନ କ୍ଷେତ୍ର ହେଉଛି ସେହି କ୍ଷେତ୍ରର କ୍ଷୁଦ୍ରତମ କ୍ଷେତ୍ର ବିସ୍ତାର ଯାହା ଉପରେ ବହୁଭୂତ ବିଭାଜିତ ହୁଏ କିମ୍ବା ର ar ଖ୍ୟ କାରଣରେ କ୍ଷୟ ହୁଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଷ୍ଟାକ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଷ୍ଟାକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ପେସ୍ କିମ୍ବା ସ୍କିମର ଏକ ବୃହତ ସାଧାରଣକରଣ, ଯାହା ମଡୁଲି ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ ମୂଳଦୁଆ ଅଟେ \| ଅନେକ ମଡୁଲି ସ୍ପେସ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଷ୍ଟାକ ପାଇଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ ques ଶଳ ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ମିତ ହୋଇଛି, ଯେପରିକି ଆର୍ଟିନ୍ଙ୍କ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ଥିଓରେମ୍, ଯାହା ସୂଚିତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବକ୍ରଗୁଡ଼ିକର ମଡ୍ୟୁଲି ସ୍ପେସ୍ ନିର୍ମାଣରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| $\text{[math]}$ ଏବଂ ଏଲିପଟିକ୍ ବକ୍ରଗୁଡ଼ିକର ମଡ୍ୟୁଲି ଷ୍ଟାକ \| ମୂଳତ ,, ମଡୁଲି ସ୍ପେସ୍ ଉପରେ ଅଟୋମୋର୍ଫିଜିମ୍ ଉପରେ ନଜର ରଖିବା ପାଇଁ ସେମାନଙ୍କୁ ଗ୍ରୋଥେଣ୍ଡିକ୍ ଦ୍ introduced ାରା ପରିଚିତ କରାଯାଇଥିଲା, ଏକ କ que ଶଳ ଯାହା ଏହି ମଡୁଲି ସ୍ପେସ୍ଗୁଡ଼ିକୁ ଚିକିତ୍ସା କରିବା ପାଇଁ ଅନୁମତି ଦେଇଥାଏ ଯେପରି ସେମାନଙ୍କର ଅନ୍ତର୍ନିହିତ ସ୍କିମ୍ କିମ୍ବା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ପେସ୍ ସୁଗମ ଅଟେ \| କିନ୍ତୁ, ଅନେକ ସାଧାରଣକରଣ ମାଧ୍ୟମରେ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଷ୍ଟାକର ଧାରଣା ଶେଷରେ ମାଇକେଲ୍ ଆର୍ଟିନ୍ ଦ୍ୱାରା ଆବିଷ୍କୃତ ହେଲା \|	ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଷ୍ଟାକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସ୍ପେସ୍ କିମ୍ବା ସ୍କିମର ଏକ ବୃହତ ସାଧାରଣକରଣ, ଯାହା ମଡୁଲି ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅଧ୍ୟୟନ ପାଇଁ ମୂଳଦୁଆ ଅଟେ \| ଅନେକ ମଡୁଲି ସ୍ପେସ୍ ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ଷ୍ଟାକ ପାଇଁ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ କ ques ଶଳ ବ୍ୟବହାର କରି ନିର୍ମିତ ହୋଇଛି, ଯେପରିକି ଆର୍ଟିନ୍ଙ୍କ ପ୍ରତିନିଧିତ୍ୱ ଥିଓରେମ୍, ଯାହା ସୂଚିତ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବକ୍ରଗୁଡ଼ିକର ମଡ୍ୟୁଲି ସ୍ପେସ୍ ନିର୍ମାଣରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ \| $\text{[math]}$
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣନା ପରିସଂଖ୍ୟାନ: ପରିସଂଖ୍ୟାନକୁ ଆଗକୁ ନେବା ପାଇଁ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ହେଉଛି ବୀଜ ବିବେଚନା \| ପରୀକ୍ଷାମୂଳକ ଡିଜାଇନ୍, ପାରାମିଟର ଆକଳନ, ଏବଂ ହାଇପୋଥେସିସ୍ ପରୀକ୍ଷଣ ପାଇଁ ବୀଜ ବିବେକ ଉପଯୋଗୀ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଠନ: ଗଣିତ, ଏକ algebraic ଗଠନ ଏକ nonempty ସେଟ୍ ଏକ ଗଠିତ, ସୀମିତ arity ଏକ ଉପରେ ପରିଚାଳନାର ଏକ ସଂଗ୍ରହ, ଏବଂ ପରିଚୟ, axioms କୁହାଯାଏ ଏକ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଏହି ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ ତୃପ୍ତ। ଉଚିତ ଯେ
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଠନ: ଗଣିତ, ଏକ algebraic ଗଠନ ଏକ nonempty ସେଟ୍ ଏକ ଗଠିତ, ସୀମିତ arity ଏକ ଉପରେ ପରିଚାଳନାର ଏକ ସଂଗ୍ରହ, ଏବଂ ପରିଚୟ, axioms କୁହାଯାଏ ଏକ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଏହି ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ ତୃପ୍ତ। ଉଚିତ ଯେ
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତୀରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗୋଷ୍ଠୀ ହେଉଛି ଏକ ଗୋଷ୍ଠୀ ଯାହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଅଟେ, ଯେପରି କି ଗୁଣନ ଏବଂ ବିପରୀତ କାର୍ଯ୍ୟ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରକାରର ନିୟମିତ ମାନଚିତ୍ର ଦ୍ୱାରା ଦିଆଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବହୁଗୁଣ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ହେଉଛି ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର ଯାହା ମଧ୍ୟ ବହୁଗୁଣିତ \| ଏହିପରି, ଆଲଜେବ୍ରିକ୍ ମେନିଫୋଲ୍ଡଗୁଡିକ ହେଉଛି ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଦ୍ୱାରା ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଥିବା ସୁଗମ ବକ୍ର ଏବଂ ପୃଷ୍ଠଗୁଡ଼ିକର ଧାରଣାର ଏକ ସାଧାରଣକରଣ \| ଏକ ଉଦାହରଣ ହେଉଛି ଗୋଲାକାର, ଯାହାକୁ ପଲିନୋମିଆଲ୍ x ² + y ² + z ² - 1 ର ଶୂନ୍ୟ ସେଟ୍ ଭାବରେ ପରିଭାଷିତ କରାଯାଇପାରେ , ଏବଂ ତେଣୁ ଏହା ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର \|
ପ୍ରତିସ୍ଥାପନ (ବୀଜ ବିବେଚନା): ବୀଜ ବିବେଚନାରେ, ପ୍ରତୀକ ଧାରଣ କରିଥିବା ଆନୁଷ୍ଠାନିକ ବସ୍ତୁ ସହିତ ଜଡିତ ବିଭିନ୍ନ ପ୍ରସଙ୍ଗରେ ପ୍ରତିସ୍ଥାପନର ପ୍ରୟୋଗ ପ୍ରୟୋଗ କରାଯାଇପାରେ; ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ମୂଲ୍ୟ ଦ୍ୱାରା କିଛି ସଙ୍କେତର ଘଟଣାଗୁଡ଼ିକୁ ବ୍ୟବସ୍ଥିତ ଭାବରେ ବଦଳାଇବାରେ ଅପରେସନ୍ ଥାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିଭିନ୍ନ: ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ କିସମଗୁଡିକ ହେଉଛି ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଜ୍ୟାମିତିର ଅଧ୍ୟୟନର କେନ୍ଦ୍ରୀୟ ବସ୍ତୁ, ଗଣିତର ଏକ ଉପ-କ୍ଷେତ୍ର \| ସାଧାରଣତ ,, ପ୍ରକୃତ ବା ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟା ଉପରେ ବହୁଜନିଆ ସମୀକରଣର ଏକ ସିଷ୍ଟମର ସମାଧାନର ସେଟ୍ ଭାବରେ ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବିବିଧତାକୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଇଛି \| ମୂଳ ପରିଭାଷା ପଛରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ଅନ୍ତ u କରଣକୁ ବଞ୍ଚାଇବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରୁଥିବାବେଳେ ଆଧୁନିକ ସଂଜ୍ଞା ଏହି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପାୟରେ ସାଧାରଣ କରିଥାଏ \|
ସାରାଂଶ: ଗଣିତରେ, ସମୀକରଣ ହେଉଛି ଯେକ any ଣସି ପ୍ରକାରର ସଂଖ୍ୟାର କ୍ରମର ଯୋଗ, ଯାହାକୁ ଆଡେଣ୍ଡସ୍ କିମ୍ବା ସମମାଣ୍ଡ କୁହାଯାଏ; ଫଳାଫଳ ହେଉଛି ସେମାନଙ୍କର ରାଶି ବା ସମୁଦାୟ \| ସଂଖ୍ୟା ବ୍ୟତୀତ, ଅନ୍ୟ ପ୍ରକାରର ମୂଲ୍ୟଗୁଡ଼ିକୁ ମଧ୍ୟ ସଂକ୍ଷେପରେ କରାଯାଇପାରେ: କାର୍ଯ୍ୟ, ଭେକ୍ଟର, ମାଟ୍ରିକସ୍, ପଲିନୋମିଆଲ୍ ଏବଂ ସାଧାରଣତ any, ଯେକ type ଣସି ପ୍ରକାରର ଗାଣିତିକ ବସ୍ତୁଗୁଡ଼ିକର ଉପାଦାନ, ଯେଉଁଥିରେ ଏକ ଅପରେସନ୍ "+" କୁ ବ୍ୟାଖ୍ୟା କରାଯାଏ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠଭୂମି ହେଉଛି ଦୁଇ ପ୍ରକାରର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର \| ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ଷେତ୍ର ଉପରେ ଜ୍ୟାମିତି କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠରେ ଜଟିଳ ଆକାର ଦୁଇ ଏବଂ ଚାରି ଆକାରର ଏକ ସୁଗମ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ଭାବରେ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠ: ଗଣିତରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠଭୂମି ହେଉଛି ଦୁଇ ପ୍ରକାରର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପ୍ରକାର \| ଜଟିଳ ସଂଖ୍ୟାର କ୍ଷେତ୍ର ଉପରେ ଜ୍ୟାମିତି କ୍ଷେତ୍ରରେ, ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ପୃଷ୍ଠରେ ଜଟିଳ ଆକାର ଦୁଇ ଏବଂ ଚାରି ଆକାରର ଏକ ସୁଗମ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ଭାବରେ \|
ଅସ୍ତ୍ରୋପଚାର ସିଦ୍ଧାନ୍ତ: ଗଣିତରେ, ବିଶେଷ ଭାବରେ ଜ୍ୟାମିତିକ ଟପୋଲୋଜିରେ, ସର୍ଜରୀ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ହେଉଛି ଜନ୍ ମିଲନୋର (୧ 6161 ୧) ଦ୍ introduced ାରା ପ୍ରବର୍ତ୍ତିତ 'ନିୟନ୍ତ୍ରିତ' ଉପାୟରେ ଅନ୍ୟ ଏକ ସୀମିତ-ଡାଇମେନ୍ସନାଲ୍ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ଉତ୍ପାଦନ ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ କ techni ଶଳର ଏକ ସଂଗ୍ରହ \| ମୂଳତ different ଭିନ୍ନକ୍ଷମ ମେନିଫୋଲ୍ଡ ପାଇଁ ବିକଶିତ, ଅସ୍ତ୍ରୋପଚାର କ techni ଶଳଗୁଡ଼ିକ ମଧ୍ୟ ସମାନ ଭାବରେ ର ar ଖ୍ୟ (PL-) ଏବଂ ଟପୋଲୋଜିକାଲ୍ ମେନିଫୋଲ୍ଡରେ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ \|
ପୁନରାବୃତ୍ତି ବର୍ଗଗତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ: ବାରମ୍ବାର ବର୍ଗୀକୃତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ , ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସ ଭାବରେ ମଧ୍ୟ ଜଣାଶୁଣା, ପରିବର୍ତ୍ତନଶୀଳ-ଜେନେରେଟିଭ୍ ବ୍ୟାକରଣର ବିକଳ୍ପ ଭାବରେ ମାଇକେଲ୍ ବ୍ରେମ୍ ଦ୍ୱାରା ବିକଶିତ ବାକ୍ୟବିନ୍ୟାସର ଏକ ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ \|
ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଗଠନ: ଗଣିତ, ଏକ algebraic ଗଠନ ଏକ nonempty ସେଟ୍ ଏକ ଗଠିତ, ସୀମିତ arity ଏକ ଉପରେ ପରିଚାଳନାର ଏକ ସଂଗ୍ରହ, ଏବଂ ପରିଚୟ, axioms କୁହାଯାଏ ଏକ ସୀମିତ ସେଟ୍, ଏହି ପ୍ରୟୋଗଗୁଡ଼ିକ ତୃପ୍ତ। ଉଚିତ ଯେ
ଟାଙ୍ଗଲେ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ଟଙ୍ଗଲ୍ ସାଧାରଣତ two ଦୁଇଟି ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଧାରଣା ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ: ଜନ୍ କନୱେଙ୍କ ପରିଭାଷାରେ, ଏକ n- ଟାଙ୍ଗଲ୍ ହେଉଛି 3 ଟି ବଲରେ n ଆର୍କର ଅସନ୍ତୁଷ୍ଟ ୟୁନିଅନର ଏକ ସଠିକ୍ ଏମ୍ବେଡିଂ; ଏମ୍ବେଡିଂ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ବଲ୍ ର ସୀମାରେ 2 n ଚିହ୍ନିତ ପଏଣ୍ଟକୁ ଆର୍କର ଶେଷ ପଏଣ୍ଟ ପଠାଇବ \| ଲିଙ୍କ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ଟାଙ୍ଗଲ୍ ହେଉଛି n arcs ଏବଂ m ସର୍କଲଗୁଡିକର ଏକ ଏମ୍ବେଡିଂ \| $\text{[math]}$ - ପୂର୍ବ ପରିଭାଷା ଠାରୁ ପାର୍ଥକ୍ୟ ହେଉଛି ଯେ ଏହା ସର୍କଲ୍ ସହିତ ଆର୍କକୁ ମଧ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ ଏବଂ ସୀମାକୁ ଦୁଇଟି (ଆଇସୋମର୍ଫିକ୍) ଖଣ୍ଡରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭାବରେ ଅଧିକ ସୁବିଧାଜନକ ଅଟେ - ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଏହାକୁ ଷ୍ଟାକ୍ କରି ଟାଙ୍ଗଲ୍ ଯୋଡିବାକୁ ଅନୁମତି ଦିଏ \|
ଟାଙ୍ଗଲେ (ଗଣିତ): ଗଣିତରେ, ଏକ ଟଙ୍ଗଲ୍ ସାଧାରଣତ two ଦୁଇଟି ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଧାରଣା ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ: ଜନ୍ କନୱେଙ୍କ ପରିଭାଷାରେ, ଏକ n- ଟାଙ୍ଗଲ୍ ହେଉଛି 3 ଟି ବଲରେ n ଆର୍କର ଅସନ୍ତୁଷ୍ଟ ୟୁନିଅନର ଏକ ସଠିକ୍ ଏମ୍ବେଡିଂ; ଏମ୍ବେଡିଂ ନିଶ୍ଚିତ ଭାବରେ ବଲ୍ ର ସୀମାରେ 2 n ଚିହ୍ନିତ ପଏଣ୍ଟକୁ ଆର୍କର ଶେଷ ପଏଣ୍ଟ ପଠାଇବ \| ଲିଙ୍କ୍ ସିଦ୍ଧାନ୍ତରେ, ଏକ ଟାଙ୍ଗଲ୍ ହେଉଛି n arcs ଏବଂ m ସର୍କଲଗୁଡିକର ଏକ ଏମ୍ବେଡିଂ \| $\text{[math]}$ - ପୂର୍ବ ପରିଭାଷା ଠାରୁ ପାର୍ଥକ୍ୟ ହେଉଛି ଯେ ଏହା ସର୍କଲ୍ ସହିତ ଆର୍କକୁ ମଧ୍ୟ ଅନ୍ତର୍ଭୁକ୍ତ କରେ ଏବଂ ସୀମାକୁ ଦୁଇଟି (ଆଇସୋମର୍ଫିକ୍) ଖଣ୍ଡରେ ବିଭକ୍ତ କରେ, ଯାହା ବୀଜ ବର୍ଣ୍ଣିତ ଭାବରେ ଅଧିକ ସୁବିଧାଜନକ ଅଟେ - ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ, ଏହାକୁ ଷ୍ଟାକ୍ କରି ଟାଙ୍ଗଲ୍ ଯୋଡିବାକୁ ଅନୁମତି ଦିଏ \|

rise-11278-gvvnor

Monday, April 5, 2021

Arithmetic dynamics, James H. Wilkinson, Algebraic element

No comments:

Post a Comment

Central Cole Camp Historic District, Munich Central Collecting Point, Munich Central Collecting Point

Report Abuse